常微分方程

含有未知函数的导数的方程，称为微分方程。常微分方程是指未知函数仅与一个自变量有关的微分方程：

$F(x,y,y',y'',\cdots,y^{(n)})=0$

其中常微分方程的阶数为最高阶导数的阶数。此阶数不同于我们之前学习的方程的阶数，对于未知函数及其导数项的幂，只有线性与非线性的区分。线性常微分方程如下：

$\sum_{i=0}^{n}a_i(x)y^{(i)}=f(x)$

如果$f(x)=0$，则称为齐次线性常微分方程；如果$f(x)\neq 0$，则称为非齐次线性常微分方程。

$\begin{cases} \text{线性} & \begin{cases} \text{齐次} & \sum_{i=0}^{n}a_i(x)y^{(i)}=0\\ \text{非齐次} & \sum_{i=0}^{n}a_i(x)y^{(i)}=f(x)\\ \end{cases}\\ \text{非线性}&\sum_m\sum_{i=0}^{n}a_i(x)(y^{(i)})^m=f(x)\\\end{cases}$

随着阶数和非线性的提高、系数函数的复杂化，求解的难度也会提高。

无约束的微分方程有无穷解，所以需要额外的约束。一个n阶的常微分方程需要n个条件来确定有限解，其中条件可以是初始条件：

$y(x_0)=y_0,y'(x_0)=y'_0,\cdots,y^{(n-1)}(x_0)=y^{(n-1)}_0$

或者边界条件：

$\begin{cases} \sum_i h_{0,i}y^{(i)}(x_0)=u_0\\ \cdots\\ \sum_i h_{n,i}y^{(i)}(x_n)=u_n\\ \end{cases}$

从另一个角度理解，对n阶微分方程的求解需要积分n次，所以会出现n个常数。我们需要n个条件来确定这些常数的值。

一阶常微分方程

线性一阶常微分方程

线性一阶常微分方程的标准形式为：

$y'(x)+p(x)y(x)=q(x)$

则其通解为：

$y(x)=e^{-\int p(x)dx}\left(\int q(x)e^{\int p(x)dx}dx+C\right)$

证明：需要用到系数变易法。首先考虑一阶线性齐次常微分方程：
$y'(x)+p(x)y(x)=0$
其通解为：
$y(x)=C e^{-\int p(x)dx}$
现在考虑非齐次方程，将通解的系数$C$改为$x$的函数$C(x)$，则有：
$C'(x)e^{-\int p(x)dx}-C(x)p(x)e^{-\int p(x)dx}+p(x)C(x)e^{-\int p(x)dx}=q(x)$
解得：
$C'(x)=q(x)e^{\int p(x)dx}$ $C(x)=\int q(x)e^{\int p(x)dx}dx+C$

可分离导数的一阶常微分方程

如果微分方程中的导数$y’$可以分离出来，则有一些特殊的解法:

$\frac{dy}{dx}=f(x)g(y)$

改写为$\frac{dy}{g(y)}=f(x)dx$，两边积分得到：
$\int \frac{dy}{g(y)}=\int f(x)dx$
$\frac{dy}{dx}=f(ax+by)$

变量代换：$z=ax+by$，则有$\frac{dz}{dx}=a+bf(z)$，两边积分得到：
$\int \frac{dz}{a+bf(z)}=\int dx$
$\frac{dy}{dx}=f(\frac{y}{x})$

变量代换：$z=\frac{y}{x}$，则有$\frac{dz}{dx}=\frac{1}{x}\left(\frac{dy}{dx}-z\right)$，两边积分得到：
$\int \frac{dz}{f(z)-z}=\int \frac{dx}{x}$

对于 $\frac{dy}{dx}=f(\frac{ax+by}{cx+dy})$，这种方法依然适用。
$\frac{dy}{dx}=f(\frac{a_1x+b_1y+c_1}{a_2x+b_2y+c_2})$

变量代换：$X=x-x_1,Y=y-y_1$，其中$(x_1,y_1)$由方程
$\begin{cases}a_1x+b_1y+c_1=0\\a_2x+b_2y+c_2=0\end{cases}$
确定。则有$\frac{dY}{dX}=\frac{a_1X+b_1Y}{a_2X+b_2Y}$。这一步的目的是将方程化为齐次方程。再次使用上一种方法的变量代换即可。
$\frac{dy}{dx}=-\frac{M(x,y)}{N(x,y)}$（全微分方程）

将其写为$M(x,y)dx+N(x,y)dy=0=dF(x,y)$，如果满足
$\frac{\partial M}{\partial y}=\frac{\partial N}{\partial x}$
这其实是一个常数函数$F(x,y)=C$的全微分方程。

这种方法将常微分方程转化为偏微分方程求解，与后续偏微分方程中的分离变量法将偏微分方程转化为常微分方程求解是相反的。

利用全微分性质：
$\frac{\partial F}{\partial x}=M(x,y)\Rightarrow F(x,y)=\int M(x,y)dx+g(y)$ $\frac{\partial F}{\partial y}=N(x,y)=\frac{\partial}{\partial y}\int M(x,y)dx+g'(y)$
可以解出$g’(y)$，从而得到$F(x,y)=C$。

有时候，$M(x,y)$和$N(x,y)$的偏导数不相等，但仍然可以通过添加因子函数$\mu(x,y)$使得满足全微分条件：
$\mu_x N-\mu_y M=(M_y-N_x)\mu$
为了方便起见，通常选择$\mu_x=0\Rightarrow\mu=\int\mu_ydy$，或者$\mu_y=0\Rightarrow\mu=\int\mu_xdx$。这样就可以将方程化为全微分方程。

无法分离导数的一阶常微分方程

$F(y’)=0$
$F(x,y’)=0$
$F(y,y’)=0$
$F(x,y,y’)=0$

二阶和高阶常微分方程

降阶法

高阶的常微分方程，如果能进行降阶，可以显著降低求解的困难。以下集中类型的方程可以进行降阶处理：

$F(x,y^{(k)},,y^{(k+1)},\cdots,y^{(n)})=0$，其中$k<n$，进行变量代换$p=y^{(k)}$，可以将其转化为$n-k$阶的常微分方程组。
$F(y,y’,y’’,\cdots,y^{(n)})=0$，方程不显含自变量，进行以下变量代换，可以将其转化为$n-1$阶的常微分方程组： $\frac{dy}{dx}=p,\frac{d^2y}{dx^2}=\frac{dp}{dy}\frac{dy}{dx}=\frac{dp}{dy}p,\cdots$ 可以降阶为$n-1$阶的常微分方程$F(y,p,p’,\cdots,p^{(n-1)})=0$。
$F(x,y,y’,y’’,\cdots,y^{(n)})=0$是函数$\Phi(x,y,y’,y’’,\cdots,y^{(n)})$的全微分方程，则$\Phi(x,y,y’,y’’,\cdots,y^{(n)})=C$，可以将其转化为$n-1$阶的常微分方程。
$F(x,y,y’,y’’,\cdots,y^{(n)})=0$关于变量$y,y’,y’’,\cdots,y^{(n)}$是齐次的，即： $F(x,ky,ky',ky'',\cdots,ky^{(n)})=k^mF(x,y,y',y'',\cdots,y^{(n)})$ 引入新的未知函数$z(x)$，假设： $y=e^{\int z(x)dx},y'=e^{\int z(x)dx}z(x),y''=e^{\int z(x)dx}(z'(x)+z^2(x))$ 代入方程中，得到一个新的方程$F(x,z,z’,z’’,\cdots,z^{(n-1)})=0$，可以将其转化为$n-1$阶的常微分方程。

齐次线性常微分方程

齐次线性常微分方程的标准形式为：

$a_n(x)y^{(n)}+a_{n-1}(x)y^{(n-1)}+\cdots+a_1(x)y'+a_0(x)y=0$

线性叠加原理：齐次线性常微分方程的解是线性叠加的。这意味着只需要找出任意n个线性无关的解$y_1(x),y_2(x),\cdots,y_n(x)$，就可以得到通解：

$y(x)=C_1y_1(x)+C_2y_2(x)+\cdots+C_ny_n(x)$

如何判断解是否线性无关呢？可以使用朗斯基（Wronskian）行列式：

$W(y_1,y_2,\cdots,y_n)=\begin{vmatrix} y_1&y_2&\cdots&y_n\\ y_1'&y_2'&\cdots&y_n'\\ \vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\ y_1^{(n-1)}&y_2^{(n-1)}&\cdots&y_n^{(n-1)}\\ \end{vmatrix}$

如果$W(y_1,y_2,\cdots,y_n)\neq 0$，则$y_1,y_2,\cdots,y_n$线性无关。

证明：若一组基解$y_1,y_2,\cdots,y_n$线性相关，则存在常数$c_1,c_2,\cdots,c_n$使得：
取导数，得到：
$\begin{cases} c_1y_1+c_2y_2+\cdots+c_ny_n=0\\ c_1y_1'+c_2y_2'+\cdots+c_ny_n'=0\\ \vdots\\ c_1y_1^{(n-1)}+c_2y_2^{(n-1)}+\cdots+c_ny_n^{(n-1)}=0\\ \end{cases}$
这就是说$W(y_1,y_2,\cdots,y_n)=0$。

朗斯基行列式的Abel公式：

$W(y_1,y_2,\cdots,y_n)=C\exp\left(-\int \frac{a_{n-1}(x)}{a_n(x)}dx\right)$

也可以写为：

$W'(x)=-\frac{a_{n-1}(x)}{a_n(x)}W(x)$

证明：行列式的导数为：
$W'(x)=\sum_i\begin{vmatrix} y_1&y_2&\cdots&y_n\\ y_1'&y_2'&\cdots&y_n'\\ \vdots&\vdots&\vdots&\vdots\\ y_1^{(i-1)+1}&y_2^{(i-1)+1}&\cdots&y_n^{(i-1)+1}\\ \vdots&\vdots&\vdots&\vdots\\ y_1^{(n-1)}&y_2^{(n-1)}&\cdots&y_n^{(n-1)}\\ \end{vmatrix}$
可以化简为：
$\begin{aligned} W'(x)&=\begin{vmatrix} y_1&y_2&\cdots&y_n\\ y_1'&y_2'&\cdots&y_n'\\ \vdots&\vdots&\vdots&\vdots\\ y_1^{(n)}&y_2^{(n)}&\cdots&y_n^{(n)}\\ \end{vmatrix}\\ &=\begin{vmatrix} y_1&y_2&\cdots&y_n\\ y_1'&y_2'&\cdots&y_n'\\ \vdots&\vdots&\vdots&\vdots\\ -\frac{a_{n-1}(x)}{a_n(x)}y_1^{(n-1)}&-\frac{a_{n-1}(x)}{a_n(x)}y_2^{(n-1)}&\cdots&-\frac{a_{n-1}(x)}{a_n(x)}y_n^{(n-1)}\\ \end{vmatrix}\\\end{aligned}$
证毕。

Abel公式指出，$W(x)=C\exp\left(-\int \frac{a_{n-1}(x)}{a_n(x)}dx\right)$要么恒为0，要么恒不为0，所以我只要知道在某个点$x_0$的值，就可以判断这组基解的线性相关性。

非齐次线性常微分方程

对于非齐次线性常微分方程：

$a_n(x)y^{(n)}+a_{n-1}(x)y^{(n-1)}+\cdots+a_1(x)y'+a_0(x)y=f(x)$

如果能找到一个特解$y_p(x)$，则通解为：

$y(x)=y_h(x)+y_p(x)$

其中$y_h(x)$是对应的齐次线性常微分方程的通解。由初始条件构成的初值问题有唯一解。

常系数线性常微分方程

齐次常系数线性常微分方程

齐次常系数线性常微分方程的标准形式为：

$a_ny^{(n)}+a_{n-1}y^{(n-1)}+\cdots+a_1y'+a_0y=0$

假设方程的根可以写为$\exp(\lambda x)$，则有：

$a_n\lambda^n+a_{n-1}\lambda^{n-1}+\cdots+a_1\lambda+a_0=0$

这被称为微分方程的特征方程。特征方程的根$\lambda_1,\lambda_2,\cdots,\lambda_n$可以是实数，也可以是复数。

对于$m\geq 1$重实根$\mu$，在通解中加入如下的线性组合： $C_0\exp(\mu x)+C_1x\exp(\mu x)+\cdots+C_{m-1}x^{m-1}\exp(\mu x)$
对于$m\geq 1$重复共轭复根$\mu\pm i\nu$，在通解中加入如下的线性组合： $(C_0\exp(\mu x)+C_1x\exp(\mu x)+\cdots+C_{m-1}x^{m-1}\exp(\mu x))\cos(\mu x)+\\(d_0\exp(\mu x)+d_1x\exp(\mu x)+\cdots+d_{m-1}x^{m-1}\exp(\mu x))\sin(\nu x)$

非齐次常系数线性常微分方程

如果非齐次常系数线性常微分方程的右端$f(x)$具有以下形式：

$f(x)=(\sum_{i=0}^{m}b_ix^i)\exp(\mu x)\begin{cases} \cos(\nu x)\\\sin(\nu x)\\\end{cases}$

如果$x^k\exp(\mu x)\cos(\nu x)$或$x^k\exp(\mu x)\sin(\nu x)$不是齐次方程的解，则特解可以表示为： $y_p(x)=\sum_{i=0}^{m}C_ix^i\exp(\mu x)\cos(\nu x)+\sum_{i=0}^{m}D_ix^i\exp(\mu x)\sin(\nu x)$
如果$x^k\exp(\mu x)\cos(\nu x)$或$x^k\exp(\mu x)\sin(\nu x)$是齐次方程的解，则特解需要乘上$x^k$。

非常系数线性微分方程

考虑非齐次线性二阶微分方程：

$y''+p(x)y'+q(x)y=f(x)$

其依旧满足线性叠加原理，所以我们需要分别找到通解和特解。

通解

对于齐次方程：

$y''+p(x)y'+q(x)y=0$

已知一个解$y_1(x)$，可以使用降阶法，得到另一个线性无关的解$y_2(x)$：

$y_2(x)=y_1(x)\int \frac{\exp{(-\int p(x)dx)}}{y_1^2(x)}dx$

证明：假设$y_2(x)=y_1(x)z(x)$，则有：
$y_2'(x)=y_1'(x)z(x)+y_1(x)z'(x)$ $y_2''(x)=y_1''(x)z(x)+2y_1'(x)z'(x)+y_1(x)z''(x)$
代入方程中，得到：
$y_1(x)z''(x)+2y_1'(x)z'(x)+y_1''(x)z(x)+p(x)(y_1'(x)z(x)+y_1(x)z'(x))+q(x)y_1(x)z(x)=0$
消去$y_1(x)$的微分方程，得到：
$z''(x)+\frac{2y_1'(x)}{y_1(x)}z'(x)+p(x)z'(x)=0$
可知$z’(x)=\exp{(-\int p(x)dx)}/y_1^2(x)$，所以$z(x)=\int \frac{\exp{(-\int p(x)dx)}}{y_1^2(x)}dx$。

通过Abel公式也可以得到：由
$W(y_1,y_2)=y_1y_2'-y_2y_1'=z'y_1^2=\exp{(-\int p(x)dx)}$
所以：
$z(x)=\int \frac{\exp{(-\int p(x)dx)}}{y_1^2(x)}dx$

因此，齐次方程的通解为：

$y_h(x)=y_1(x)(C_1+C_2\int \frac{\exp{(-\int p(x)dx)}}{y_1^2(x)}dx)$

特解

对于非齐次方程：