积分变换法包括傅里叶变换和拉普拉斯变换等方法，其中傅里叶变换适合求解无穷定义域上收敛的问题，而拉普拉斯变换适合求解半无穷定义域上的问题。

傅里叶变换

对于在无穷区间上定义的分段连续函数$f(x)$，若满足$\int_{-\infty}^{+\infty} |f(x)|^2 dx < \infty$，则该函数具有以下傅里叶变换的性质：

  • 傅里叶变换：
  • 逆傅里叶变换：
  • 线性性：
  • 导数和积分的傅里叶变换：
    • 一阶导数：
    • 二阶导数：
    • 积分：
  • 平移定理：
  • 卷积定理：其中，卷积定义为：
  • 其他：

由于收敛性的要求，函数需要在无穷边界处收敛，对于一般的方程，需要在除傅里叶变换的变量（在无穷区间上定义）外的变量上满足一定的边界条件，一般只定义在半无穷平面上。时间初值问题和半无穷边界问题都可以使用傅里叶变换来求解。

傅里叶变换求解波动方程

利用傅里叶变换解波动方程：

初始条件为：

进行傅里叶变换：

代入初始条件：

傅里叶变换求解传热方程

同样的道理，可以求解传热方程：

初始条件为：

进行傅里叶变换：

代入初始条件，使用卷积定理：

其中$\exp{[-c^2k^2t]}$的傅里叶变换为：

傅里叶变换求解Laplace方程

Laplace方程为：

边值条件为：

经过傅里叶变换后：

其中$e^{-ky}$的傅里叶变换为：

所以方程的解为：

该公式被成为Poisson积分公式。

拉普拉斯变换

函数$f(t)$在$t\geq 0$定义，如果满足$\exist (M,a),|f(t)|<Me^{at},\forall t\geq 0$，其拉普拉斯变换的性质为：

  • 拉普拉斯变换：
  • 逆拉普拉斯变换：
  • 线性性：
  • 导数的拉普拉斯变换：
    • 一阶导数：
    • 二阶导数：
    • n阶导数：
  • 平移定理：
  • 卷积定理：其中，卷积定义为：

与傅里叶变换不同，拉普拉斯变换处理时间变量，所以适合解决边值问题。

常见的拉普拉斯变换

函数 拉普拉斯变换
$f(t) = 1$ $F(s) = \frac{1}{s}$
$f(t) = t^n$ $F(s) = \frac{\Gamma(n)}{s^{n+1}}$
$f(t) = e^{at}$ $F(s) = \frac{1}{s-a}$
$f(t) = \sin(\omega t)$ $F(s) = \frac{\omega}{s^2 + \omega^2}$
$f(t) = \cos(\omega t)$ $F(s) = \frac{s}{s^2 + \omega^2}$

拉普拉斯变换求解传热方程

边界条件为：

为了方便起见，初值条件为：

进行拉普拉斯变换：

已知$\exp{[-\sqrt{\dfrac{s}{c^2}}x]}$的拉普拉斯逆变换为：

所以方程的解为：