格林函数法的思想

格林函数方法是基于格林定理的数学工具。对于任意线性算符的非齐次方程：

他将非齐次项$f(x)$表示一个个独立的点源$\delta(x-x_0)$的叠加：

这样原来方程的解$u(x)$就可以表示为：

这有点像是将非齐次项分解为格林函数，里面的$\int f(\xi)\delta(\xi-x_0)d\xi$就是格林函数的系数。考虑边界项，最终的解$u(x)$可以写为：

通过简单的验证可以得到：

格林函数办法将求解非齐次偏微分方程的问题转化为求解齐次偏微分方程的问题：

格林定理与格林函数

格林定理：

将$\mathbf{F}$取为$\mathbf{F} = u\nabla v$，则有：

可以写为第一类格林公式：

交换$u$和$v$：

相减可以得到第二类格林公式：

代入$v=G(\vec{r}-\vec{r_0})$，可以得到：

整理后可以得到：

根据点源场的性质，格林函数显然满足：

交换$\vec{r}$和$\vec{r_0}$，可以得到：

Laplace方程的格林函数

非齐次项$f(\vec{r})$为0时，为Laplace方程，其格林函数公式为：

对于一般的Robin边界条件：

可以得到：

Poisson方程的格林函数

对于Poisson方程：

格林函数为：

对于一般的Robin边界条件：

可以得到：

波动方程的格林函数

对于波动方程：

其格林函数为：

重复上述证明，代换$v=G(\vec{r},\vec{r_0},t,t_0)$，可以得到：

整理后可以得到：

利用导数关系$[uG_{tt} -Gu_t{tt}]=\frac{d}{d t}[uG_t -Gu_t]$，可以得到：

交换$\vec{r}$和$\vec{r_0}$，可以得到：

热方程的格林函数

省略推导，直接给出结果：

格林函数的应用

无穷大区间的格林函数

  • 二维：
  • 三维：

有限区间的格林函数

有限空间上的格林函数可以通过本征值函数展开来求解。