场论初步

想要使用分离变量法求解偏微分方程，不可离开不同坐标系下微分算子的表示。我们首先得了解正交曲线坐标系。

正交曲线坐标系指的是在任意点处，坐标曲线互相正交的坐标系。对于空间中的无穷小线元，由直角坐标系的正交性可知：

$ds_i^2=dx_i^2+dy_i^2+dz_i^2,i=1,2,3$

其中$ds_i$是沿坐标曲线$q_i(q_j=C_1,q_k=C_2)$的线元。由坐标曲线的定义可知：

$dx_i=\dfrac{\partial x_i}{\partial q_i}dq_i,dy_i=\dfrac{\partial y_i}{\partial q_i}dq_i,dz_i=\dfrac{\partial z_i}{\partial q_i}dq_i$

所以线元的表达式为：

$ds_i^2=\left(\dfrac{\partial x_i}{\partial q_i}\right)^2dq_i^2+\left(\dfrac{\partial y_i}{\partial q_i}\right)^2dq_i^2+\left(\dfrac{\partial z_i}{\partial q_i}\right)^2dq_i^2$

引入拉梅参数：

$h_i=\sqrt{\left(\dfrac{\partial x_i}{\partial q_i}\right)^2+\left(\dfrac{\partial y_i}{\partial q_i}\right)^2+\left(\dfrac{\partial z_i}{\partial q_i}\right)^2}$

则有：

$ds_i^2=h_i^2dq_i^2$

由正交曲线坐标系的正交性可得，总的线元表达式为：

$ds^2=\sum_{i=1}^3h_i^2dq_i^2$

这里给出多个常见坐标系的拉梅参数：

笛卡尔坐标系：$h_1=h_2=h_3=1$

极坐标系：$h_1=1,h_2=r$

圆柱坐标系：$h_1=1,h_2=r,h_3=1$

球坐标系：$h_1=1,h_2=r,h_3=r\sin\theta$

在正交曲线坐标系中，梯度、散度、旋度和Laplace算子分别为：

$\nabla f=\left(\dfrac{1}{h_1}\dfrac{\partial f}{\partial q_1},\dfrac{1}{h_2}\dfrac{\partial f}{\partial q_2},\dfrac{1}{h_3}\dfrac{\partial f}{\partial q_3}\right)$

以下是一些常见坐标系的梯度算子：

笛卡尔坐标系：$\nabla f=\left(\dfrac{\partial f}{\partial x},\dfrac{\partial f}{\partial y},\dfrac{\partial f}{\partial z}\right)$

极坐标系：$\nabla f=\left(\dfrac{\partial f}{\partial r},\dfrac{1}{r}\dfrac{\partial f}{\partial \theta}\right)$

圆柱坐标系：$\nabla f=\left(\dfrac{\partial f}{\partial r},\dfrac{1}{r}\dfrac{\partial f}{\partial \theta},\dfrac{\partial f}{\partial z}\right)$

球坐标系：$\nabla f=\left(\dfrac{\partial f}{\partial r},\dfrac{1}{r}\dfrac{\partial f}{\partial \theta},\dfrac{1}{r\sin\theta}\dfrac{\partial f}{\partial \phi}\right)$

$\nabla\cdot\vec{A}=\dfrac{1}{h_1h_2h_3}\sum_i \dfrac{\partial}{\partial q_i}\left(h_jh_kA_i\right)$

以下是一些常见坐标系的散度算子：

笛卡尔坐标系：$\nabla\cdot\vec{A}=\dfrac{\partial A_x}{\partial x}+\dfrac{\partial A_y}{\partial y}+\dfrac{\partial A_z}{\partial z}$

极坐标系：$\nabla\cdot\vec{A}=\dfrac{1}{r}\dfrac{\partial}{\partial r}\left(rA_r\right)+\dfrac{1}{r}\dfrac{\partial A_\theta}{\partial \theta}$

圆柱坐标系：$\nabla\cdot\vec{A}=\dfrac{1}{r}\dfrac{\partial}{\partial r}\left(rA_r\right)+\dfrac{1}{r}\dfrac{\partial A_\theta}{\partial \theta}+\dfrac{\partial A_z}{\partial z}$

球坐标系：$\nabla\cdot\vec{A}=\dfrac{1}{r^2}\dfrac{\partial}{\partial r}\left(r^2A_r\right)+\dfrac{1}{r\sin\theta}\dfrac{\partial}{\partial \theta}\left(\sin\theta A_\theta\right)+\dfrac{1}{r\sin\theta}\dfrac{\partial A_\phi}{\partial \phi}$

$\nabla\times\vec{A}=\dfrac{1}{h_1h_2h_3}\begin{vmatrix} h_1\vec{e}_1 & h_2\vec{e}_2 & h_3\vec{e}_3\\ \dfrac{\partial}{\partial q_1} & \dfrac{\partial}{\partial q_2} & \dfrac{\partial}{\partial q_3}\\ A_1h_1 & A_2h_2 & A_3h_3 \end{vmatrix}$

对于二维坐标系，旋度的表达式为：
$\nabla\times\vec{A}=\left(\dfrac{\partial A_2}{\partial x}-\dfrac{\partial A_1}{\partial y}\right)\vec{e}_3$
以下是一些常见坐标系的旋度算子：

笛卡尔坐标系：$\nabla\times\vec{A}=\left(\dfrac{\partial A_z}{\partial y}-\dfrac{\partial A_y}{\partial z},\dfrac{\partial A_x}{\partial z}-\dfrac{\partial A_z}{\partial x},\dfrac{\partial A_y}{\partial x}-\dfrac{\partial A_x}{\partial y}\right)$

极坐标系：$\nabla\times\vec{A}=\dfrac1r\left[\dfrac{(\partial rA_\theta)}{\partial r}-\dfrac{\partial A_r}{\partial \theta}\right]\vec{e}_z$

圆柱坐标系：$\nabla\times\vec{A}=\left[\dfrac{1}{r}\dfrac{\partial A_z}{\partial \varphi}-\dfrac{\partial A_\varphi}{\partial z},\dfrac{\partial A_r}{\partial z}-\dfrac{\partial A_z}{\partial r},\dfrac{1}{r}\dfrac{\partial (rA_\varphi)}{\partial r}-\dfrac{1}{r}\dfrac{\partial A_r}{\partial \varphi}\right]$

球坐标系：$\nabla\times\vec{A}=\left\{\dfrac{1}{r\sin\theta}[\dfrac{\partial}{\partial \theta}\left(\sin\theta A_\phi\right)-\dfrac{\partial A_\theta}{\partial \phi}],\dfrac{1}{r}[\dfrac{1}{\sin\theta}\dfrac{\partial A_r}{\partial \phi}-\dfrac{\partial}{\partial r}\left(rA_\phi\right)],\dfrac{1}{r}[\dfrac{\partial}{\partial r}\left(rA_\theta\right)-\dfrac{\partial A_r}{\partial \theta}]\right\}$

$\nabla^2 f=\dfrac{1}{h_1h_2h_3}\sum_i \dfrac{\partial}{\partial q_i}\left(\dfrac{h_jh_k}{h_i}\dfrac{\partial f}{\partial q_i}\right)$

以下是一些常见坐标系的Laplace算子：

笛卡尔坐标系：$\nabla^2 f=\dfrac{\partial^2 f}{\partial x^2}+\dfrac{\partial^2 f}{\partial y^2}+\dfrac{\partial^2 f}{\partial z^2}$

极坐标系：$\nabla^2 f=\dfrac{1}{r}\dfrac{\partial}{\partial r}\left(r\dfrac{\partial f}{\partial r}\right)+\dfrac{1}{r^2}\dfrac{\partial^2 f}{\partial \theta^2}$

圆柱坐标系：$\nabla^2 f=\dfrac{1}{r}\dfrac{\partial}{\partial r}\left(r\dfrac{\partial f}{\partial r}\right)+\dfrac{1}{r^2}\dfrac{\partial^2 f}{\partial \theta^2}+\dfrac{\partial^2 f}{\partial z^2}$

球坐标系：$\nabla^2 f=\dfrac{1}{r^2}\dfrac{\partial}{\partial r}\left(r^2\dfrac{\partial f}{\partial r}\right)+\dfrac{1}{r^2\sin\theta}\dfrac{\partial}{\partial \theta}\left(\sin\theta\dfrac{\partial f}{\partial \theta}\right)+\dfrac{1}{r^2\sin^2\theta}\dfrac{\partial^2 f}{\partial \phi^2}$

正交多项式

我们此前常用多个正交向量的线性组合来表示空间中的任意向量。将函数类比为向量，我们也可以使用多个正交函数来表示Hilbert函数空间中的任意函数。

正交性和完备性定义如下：

正交性：对于任意的正交函数$f_i(x)$和$f_j(x)$，都有： $\int_a^b f_i(x)f_j(x)dx=\delta_{ij}$
完备性：对于任意的函数$f(x)$，都有： $f(x)=\sum_{i=1}^\infty a_i f_i(x)$ 其中傅里叶系数$a_i=\int_a^b f(x)f_i^*(x)dx$
归一化性：对于任意的正交函数$f_i(x)$，都有： $\int_a^b f_i^*(x)f_i(x)dx=1$

对于正交归一化的基底，类比向量的系数特征，我们可以得到贝塞尔不等式：

$\sum_{i=1}^N a_i^2\leq \int_a^b |f(x)|^2dx$

以及$N\rightarrow\infty$时的帕萨瓦等式：

$\sum_{i=1}^\infty a_i^2=\int_a^b |f(x)|^2dx$

对于带有权重函数的正交归一化函数集：
$\int_a^b f_i^*(x)f_j(x)w(x)dx=\delta_{ij}$
傅里叶系数表示为：
$a_i=\int_a^b f(x)f_i^*(x)w(x)dx$
如果函数集是正交非归一化的，则傅里叶系数表示为：
$a_i=\dfrac{\int_a^b f(x)f_i^*(x)w(x)dx}{\int_a^b f_i(x)f_i^*(x)w(x)dx}$

傅里叶级数

傅里叶级数是最常用的正交函数系之一。显然，三角函数集：

$\left\{\sin\left(\dfrac{\pi nx}{L}\right),\cos\left(\dfrac{\pi nx}{L}\right)\right\}(n=0,1,2,\cdots)$

在区间$[-L,L]$是正交非归一化的。定义在该区间上或是关于该区间周期的函数可以用傅里叶级数展开为：

$f(x)=\sum_{n=0}^\infty \left[a_n\cos\left(\dfrac{\pi nx}{L}\right)+b_n\sin\left(\dfrac{\pi nx}{L}\right)\right]$

其中，考虑到归一化系数：

$\int_{-p}^p 1dx=2p,\int_{-p}^p \cos^2\left(\dfrac{\pi nx}{L}\right)dx=\dfrac{p}{2},\int_{-p}^p \sin^2\left(\dfrac{\pi nx}{L}\right)dx=\dfrac{p}{2}$

可以得到傅里叶展开的系数为：

$f(x)=\frac{a_0}2+\sum_{n=1}^\infty \left[a_n\cos\left(\dfrac{\pi nx}{L}\right)+b_n\sin\left(\dfrac{\pi nx}{L}\right)\right];\begin{cases} a_0=\dfrac{1}{p}\int_{-p}^p f(x)dx\\ a_n=\dfrac{1}{p}\int_{-p}^p f(x)\cos\left(\dfrac{\pi nx}{L}\right)dx\\ b_n=\dfrac{1}{p}\int_{-p}^p f(x)\sin\left(\dfrac{\pi nx}{L}\right)dx \end{cases}$

半区间延拓

对于定义在半区间$[0,L]$上的函数，我们可以将其延拓到区间$[-L,L]$上。常用的延拓方式有偶延拓和奇延拓，尽管函数的表达式不同，但他们都能平方平均收敛到原函数。

傅里叶级数的复数形式

傅里叶级数的复数形式为：

$f(x)=\sum_{n=-\infty}^\infty c_n e^{i\frac{\pi nx}{L}}$

系数为：

$c_n=\dfrac{1}{2p}\int_{-p}^p f(x)e^{-i\frac{\pi nx}{L}}dx$

傅里叶-贝塞尔级数

贝塞尔函数是带有权重函数的正交函数集：

$\left\{J_p\left(\lambda_{pm} \frac{x}{a}\right)\right\}(m=0,1,2,\cdots),w(x)=x$

其中$\lambda_{pm}$是贝塞尔函数的第$p$个零点，其正交性为：

$\int_0^a J_p\left(\lambda_{pm} \frac{x}{a}\right)J_p\left(\lambda_{pn} \frac{x}{a}\right)xdx=||J_p\left(\lambda_{pm} \frac{x}{a}\right)||^2\delta_{mn}$

所以我们可以将定义在区间$[0,a]$上的函数展开为：

$f(x)=\sum_{m=0}^\infty a_m J_p\left(\lambda_{pm} \frac{x}{a}\right)$

傅里叶系数为：

$a_m=\dfrac{\int_0^a f(x)J_p\left(\lambda_{pm} \frac{x}{a}\right)xdx}{||J_p\left(\lambda_{pm} \frac{x}{a}\right)||^2}$

对于积分边界$a$，分以下情况讨论边界条件$d_1y(a)+d_2y’(a)=0$：

$a$是贝塞尔函数的零点，即对应边界条件$$y(a)=0$，则有： $||J_p\left(\lambda_{pm} \frac{x}{a}\right)||^2=\frac{a^2}{2}\left[J_{p+1}\left(\lambda_{pm}\right)\right]^2$
$a$是贝塞尔函数的极值点，即对应边界条件$$y’(a)=0$，则有： $||J_p\left(\lambda_{pm} \frac{x}{a}\right)||^2=\frac{a^2}2\left(1-\frac{p^2}{\lambda_{pm}^2}\right)\left[J_{p}\left(\lambda_{pm}\right)\right]^2$

特别地，当$p=0,\lambda_{pm}=0$时，$||J_0\left(\lambda_{p0} \frac{x}{a}\right)||=\frac{a^2}2$
$a$是贝塞尔函数的任一点，对应边界条件$y(a)+hy’(a)=0$，则有： $||J_p\left(\lambda_{pm} \frac{x}{a}\right)||^2=\frac{a^2}2\left(1-\frac{p^2}{\lambda_{pm}^2}+\frac{a^2}{\lambda^2_{pm}h^2}\right)\left[J_{p}\left(\lambda_{pm}\right)\right]^2$

傅里叶-勒让德级数

勒让德函数是定义在区间$[-1,1]$上的正交函数集：

$\left\{P_n(x)\right\}(n=0,1,2,\cdots)$

满足正交性：

$\int_{-1}^1 P_n(x)P_m(x)dx=\dfrac{2}{2n+1}\delta_{mn}$

所以我们可以将定义在区间$[-1,1]$上的函数展开为：

$f(x)=\sum_{n=0}^\infty a_n P_n(x)$

傅里叶系数为：

$a_n=\dfrac{2n+1}{2}\int_{-1}^1 f(x)P_n(x)dx$

Sturm-Liouville问题

正交多项式如何帮助求解常微分方程？如果一个常微分方程被表示为：

$\dfrac{d}{dx}\left[p(x)\dfrac{dy}{dx}\right]+q(x)y=\lambda w(x)y$

且满足边值条件：

$\begin{cases} c_1y(a)+c_2y'(a)=0\\ d_1y(b)+d_2y'(b)=0 \end{cases}$

该问题被称为Sturm-Liouville问题：

正则Sturm-Liouville问题：定义在有限区间$[a,b]$上的常微分方程，且$p(x),p’(x),q(x),w(x)$在区间内连续，$p(x)>0,w(x)>0$；
非正则Sturm-Liouville问题：定义在无限区间$(-\infty,+\infty)$上，或部门那组任一正则条件。

Sturm-Liouville问题的解集为：

$\begin{cases} \lambda_1&y_1(x)\\ \lambda_2&y_2(x)\\ \cdots&\cdots\\ \lambda_n&y_n(x)\\ \end{cases}$

其中$\lambda_n$为特征值，$y_n(x)$为特征函数。

二维微分方程Sturm-Liouville问题的性质：

二维微分方程正则Sturm-Liouville问题的本征值都是实数，且构成无穷递增序列： $\lambda_1<\lambda_2<\cdots<\lambda_n<\cdots$
每一个本征值仅对应一个线性无关的本征函数；
不同本征值对应的本征函数以$w(x)$为权重函数正交： $\int_a^b y_n(x)y_m(x)w(x)dx=||y_m(x)||^2\delta_{mn}$
对于非正则问题，如果满足以下条件，那么正交关系仍然成立： $\lim_{x\rightarrow b} p(x)[y_1(x)y_2'(x)-y_2(x)y_1'(x)]=\lim_{x\rightarrow a} p(x)[y_1(x)y_2'(x)-y_2(x)y_1'(x)]$

由上述性质，我们知晓，如果一个常微分方程通过变换可以化为已知本征函数的Sturm-Liouville问题，那么我们就可以使用正交函数展开法来求解该方程。傅里叶级数常用于求解直角坐标系下的微分方程，而贝塞尔函数和（连带）勒让德函数则常用于求解极坐标系和球坐标系下的微分方程（这也是为什么他们被称为柱函数和球函数的原因）。