质点动力学基本定律

质点动力学以牛顿三定律为基础：

  • 牛顿第一定律：如果一个物体不受外力作用，它将保持静止或匀速直线运动状态；
  • 牛顿第二定律：物体的加速度与所受外力成正比，与物体的质量成反比；
  • 牛顿第三定律：物体间的相互作用力是大小相等、方向相反的。

第一定律提出了力和惯性两大重要概念，并且是在“惯性系”下研究物体。所谓惯性系，指的是满足第一定律的参考系。然而并不存在绝对的惯性系，牛顿的绝对空间也是人为假设。马赫对此进行了批判：所谓惯性不是物体本身的属性，而是来源于物体之间的相互作用。

第一定律给出了惯性的定义，进而给出力的定性定义；第二定律给出力的定量定义。除此之外，第二定律的完备性还暗示了决定论的思想，当然这在我们现在看来不那么正确。系统的内禀随机性和非线性性也对告诉我们，实际问题中我们并不能够预测未来（因为世界是高维非线性的）。

由第二定律，加速度为0的时候，合力为0，可以导出静力学这一领域。

第二定律还指出力和加速度是瞬时关联的，第三定律指出相互作用也是瞬时的。不过，我们知道相互作用的传播是光速有限的，因而第三定律其实并不成立。

力学相对性原理

经验表面，惯性系不止一个，在所有惯性系中，力学定律具有相同的形式，这一原理称为力学相对性原理。对于不同的惯性系，通过伽利略坐标变换即可证明同一物体在不同惯性系的加速度相等。

非惯性系与惯性力

在非惯性系中，物体具有额外的加速度却静止不动，这部分加速度对应的力称为惯性力。通过引入惯性力，可以修正非惯性系中的力学定律：

使其与惯性系中的力学定律具有相同的形式，其中惯性力为：

利用非惯性力可以解释潮汐现象：地月互转产生恒定的离心力，月球对地球的引力随着距离有所不同。作用在地球中心的引力等于离心力，所以向月点的引力大于离心力，背向的引力小于离心力，均表现为向外的合力，所以在向月点和背月点的方向上产生潮汐。

质点动力学运动定理

从牛顿力学发展的质点动力学已经足够描述所有问题，但是从牛顿力学出发推导的质点动力学运动定理可以帮助简化问题求解。一方面，笛卡尔继承牛顿发展的学派从力与动量导出功；另一方面，莱布尼兹则从能量导出力的概念。后者也被分析力学学派所发展。

动量定理和动能定理

从牛顿第二定律出发，假设物体的质量不变：

对以下三种情况分类讨论：

  • $F(t)=m\ddot{x}\Rightarrow p=m\dot{x}=\int F(t)dt+C$可以导出动量定理：
  • $F(\dot{x})=m\ddot{x}\Rightarrow m\dfrac{dv}{F(v)}=dt\Rightarrow \int \dfrac{m}{F(v)}dv=t$；
  • $F(x)=m\ddot{x}\Rightarrow \dfrac{d}{dt}(\dfrac{1}{2}mv^2)=F(x)\dot{x}\Rightarrow \int F(x)dx=\dfrac{1}{2}mv^2+C$可以导出动能定理:其中$T=\dfrac{1}{2}mv^2$为动能，$C$为常数。

对于力守恒的情况，可以进一步推导出动量守恒定理和动能守恒定理。

将动能定理进行拓展，使系统包含产生力的源，则可以得到能量守恒定理：

从势能的变化可以定义出保守力。能量守恒也可以表达为封闭系统仅保守力做功的情况。

角动量定理与角动能定理

定义力矩和角动量为：

对角动量进行求导：

这便是角动量定理。

同样的道理，可以定义转动动能为：

其中$I=\int_\Omega r^2dm$为转动惯量。

对转动动能进行求导：

就可以得到转动动能定理。