矩阵光学

Introduction and Assumptions

矩阵光学指的是通过线性变换矩阵来描述几何光学传播过程的方法。这其中隐含了几个假设：

• 光线是直线（这也是几何光学的基本假设）；
• 光线的传播是线性的；
• 光线满足傍轴近似（即光线的角度很小）。

我们用两个参数来描述光线的传播——光线的位置和方向：

$$\begin{pmatrix} x \\ \theta \end{pmatrix}$$

光线通过线性变换矩阵$M$传播后，位置和方向变为：

$$\begin{pmatrix} x' \\ \theta' \end{pmatrix} = M \begin{pmatrix} x \\ \theta \end{pmatrix}$$

显然，矩阵$M$是一个$2 \times 2$的矩阵：

$$M = \begin{pmatrix} A & B \\ C & D \end{pmatrix}$$

如果我们有多个光学元件，每个元件都有一个传播矩阵$M_i$，那么这些元件的传播矩阵的乘积就是整个系统的传播矩阵：

$$M = M_n M_{n-1} \cdots M_2 M_1$$

Sign Convention

在矩阵光学中，我们使用以下符号约定：

• 物距和像距的正负遵循“实正虚负”的规则；
• 光线角度的正负遵循“逆时针正顺时针负”的规则；
• 所有的曲面界面，曲率中心在右侧为正，左侧为负。

Some Examples

Free Space

自由空间中的光线传播是最简单的情况，传播矩阵是：

$$M = \begin{pmatrix} 1 & L \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$$

可以通过简单的推导验证：

$$\begin{pmatrix} x' \\ \theta' \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & L \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ \theta \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x + L\theta \\ \theta \end{pmatrix}$$

Surface and Parallel Plate

光线入射介质$n_1$，出射介质$n_2$满足以下光学矩阵：

$$M = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & \frac{n_1}{n_2} \end{pmatrix}$$

可以通过简单的推导验证：由折射定理，我们有：

$$\begin{pmatrix} x' \\ \theta' \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & \frac{n_1}{n_2} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ \theta \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x \\ \frac{n_1}{n_2} \theta \end{pmatrix}$$

平行板是一个简单的光学元件，传播矩阵可以通过三个光学矩阵相乘得到：

$$M = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & n \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & L \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & \frac{1}{n} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & L/n \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$$

这说明相比于自由空间的传播，平行板的传播矩阵不会改变光线的角度，只会按折射率改变光线的位置。相应的，可以推出多个平行板的传播矩阵：

$$M = \begin{pmatrix} 1 & L_1/n_1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & L_2/n_2 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \cdots \begin{pmatrix} 1 & L_n/n_n \\ 0 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & \sum_i L_i/n_i \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$$

Reflective spherical mirrors

反射球面镜的光学矩阵：

$$M = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ \frac{2}{R} & 1 \end{pmatrix}$$

Refractive spherical surfaces

折射球面的光学矩阵：

$$M = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ \frac{n_1 - n_2}{n_2R} & \frac{n_1}{n_2} \end{pmatrix}$$

当$R\rightarrow \infty$时，球面变为平面，折射球面的光学矩阵变为折射平面的光学矩阵：

$$M = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & \frac{n_1}{n_2} \end{pmatrix}$$

Thin lens

薄透镜的光学矩阵可以通过两个折射球面的光学矩阵相乘得到：

$$M = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ \frac{n_2 - n_1}{n_1R_1} & \frac{n_2}{n_1} \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ \frac{n_1 - n_2}{n_2R_2} & \frac{n_1}{n_2} \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ \frac{n_2 - n_1}{n_1R_1} + \frac{n_1 - n_2}{n_1R_2} & 1 \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ -\frac{1}{f} & 1 \end{pmatrix}$$

其中$f$是透镜的焦距：

$$\frac1f = \frac{n_2 - n_1}{n_1R_1} + \frac{n_1 - n_2}{n_1R_2}=(\frac{n_2}{n_1}-1)(\frac{1}{R_1} - \frac{1}{R_2})$$

Physical Meaning of the Matrix Elements

通过运算线性变换矩阵的元素，我们可以得到一些物理意义：

$$\begin{pmatrix} Ax+B\theta\\Cx+D\theta \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} A & B \\ C & D \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ \theta \end{pmatrix}$$

• 当满足成像条件的时候，光线汇聚的位置和角度无关，即$B=0$
  • 这表明$A=\frac{x’}{x}$表示成像放大率；
  • $\theta’=Cx+D\theta$表明$\delta\theta’=D\delta\theta$，即$D$表示光线的角度放大率；
  • 满足成像条件时，$B=0$，表面其物理意义是成像传输距离。
• 当满足聚焦条件的时候，平行光线聚焦在一点上，即$A=D=0$（成像放大率为0，即聚焦）: $$\begin{pmatrix} x'\\ \theta' \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & B \\ C & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ Cx \end{pmatrix}$$
  • $C=\frac{\theta’}{x}=-\frac{1}{f}$表示负屈光度。

所以传输矩阵的物理意义是：

$$\begin{pmatrix} x'\\ \theta' \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \text{成像放大率} & \text{成像传输距离} \\ \text{负屈光度} & \text{角度放大率} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ \theta \end{pmatrix}$$

Relations between the Matrix Elements

传输矩阵的元素之间有一些关系：

$$AD-BC=\det{M}=\frac{n_1}{n_2}$$

其物理意义是光束的能流守恒。