干涉理论

一般用复振幅描述光波：

$U(P,t) =A(P) \cos{\omega t-\varphi(P)}\Leftrightarrow\tilde{U}(P,t) = A(P) e^{-i(\omega t-\varphi(P))}$

复振幅在运算中具有天然的优势。常见的复振幅有：

平面波：$U(P,t) = A \cos{\omega t - \vec{k} \cdot \vec{r}}\Leftrightarrow\tilde{U}(P,t) = A e^{-i(\omega t - \vec{k} \cdot \vec{r})}$
球面波：$U(P,t) = \frac{A}{r} \cos{\omega t - kr}\Leftrightarrow\tilde{U}(P,t) = \frac{A}{r} e^{-i(\omega t - kr)}$
柱面波：$U(P,t) = \frac{A}{\sqrt{r}} \cos{\omega t - kr}\Leftrightarrow\tilde{U}(P,t) = \frac{A}{\sqrt{r}} e^{-i(\omega t - kr)}$

干涉的条件

两列波相遇是，其复振幅满足叠加原理：

$\tilde{U} = \tilde{U}_1 + \tilde{U}_2$

其光强不一定满足叠加原理：

$\begin{aligned} I &= \langle\left|U\right|^2 \rangle= \langle U \cdot U^*\rangle = \langle\left(U_1 + U_2\right) \left(U_1^* + U_2^*\right)\rangle\\ &= \langle\left|U_1\right|^2\rangle +\langle \left|U_2\right|^2\rangle +\langle U_1 U_2^* + U_1^* U_2\rangle\\ &=|A_1|^2 + |A_2|^2 + 2|\vec{A_1}\cdot \vec{A_2}|\langle \cos((\omega_1-\omega_2)t-(\varphi_1-\varphi_2))\rangle \end{aligned}$

显然，若要满足相干叠加（干涉），需要满足以下条件：

$\vec{A_1}\cdot \vec{A_2} \neq 0$：两列波有平行方向的分量；
$\varphi_1-\varphi_2 = \text{const}$：两列波的相位差稳定；
$\omega_1-\omega_2 =0$：两列波的频率相同。

三个条件缺一不可。

平行光干涉

对于两列传播方向分别为$\theta_1$和$\theta_2$的平面波，其复振幅为：

$\begin{aligned} \tilde{U}_1 &= A_1 e^{i(k\sin{\theta_1}x-\phi_{10})}\\ \tilde{U}_2 &= A_2 e^{i(k\sin{\theta_2}x-\phi_{20})} \end{aligned}$

两列波的叠加为：

$\begin{aligned} I &= |A_1|^2 + |A_2|^2 + 2|A_1A_2|\cos{\left(kx(\sin{\theta_1}-\sin{\theta_2})-(\phi_{10}-\phi_{20})\right)} \end{aligned}$

条纹的间距满足：

$\Delta x = \frac{\lambda}{\sin{\theta_1}-\sin{\theta_2}}$

定义干涉的空间频率：

$f=\frac{1}{\Delta x} = \frac{\sin{\theta_1}-\sin{\theta_2}}{\lambda}$

衬比满足：

$\gamma=\frac{I_{\text{max}}-I_{\text{min}}}{I_{\text{max}}+I_{\text{min}}} = \frac{2|A_1A_2|}{|A_1|^2+|A_2|^2}$

将光强写为衬比度的函数：

$I = I_0(1+\gamma\cos{(2\pi f x+\phi_0)})$

实际上，我们在解决干涉问题的时候，通常不会考虑这样写出复振幅的解法，而是通过光程差解决问题。

分波前干涉

分波前干涉，顾名思义，是指通过分波前装置，使两列波具有相同的相位差和频率，从而实现干涉。

杨氏双缝干涉

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假定：

光线满足傍轴条件，所有角均为小角；
不考虑两列光线因为夹角导致的光强差异。

写出两列光的光程相位差：

$\begin{aligned} \delta&=\frac{2\pi}{\lambda}(r_2-r_1)\\ &=\frac{2\pi}{\lambda}d\sin{\theta}\\ &=\frac{2\pi}{\lambda}d\frac{x}{D}=\frac{2\pi d}{\lambda D}x \end{aligned}$

条纹间距：

$\Delta x = \frac{2\pi x}{\delta} = \frac{\lambda D}{d}\\ f=\frac{1}{\Delta x} = \frac{d}{\lambda D}$

衬比度：

$\gamma = \frac{I_{\text{max}}-I_{\text{min}}}{I_{\text{max}}+I_{\text{min}}} = \frac{2\sqrt{I_1I_2}}{I_1+I_2}$

如果$\gamma=0$，称为完全不相干；如果$\gamma=1$，称为完全相干，将光强写为衬比度的函数：

$I = 2I_0(1+\gamma\cos{(2\pi f x)})=4I_0\cos^2{\left(\frac{\pi d}{\lambda D}x\right)}$

对于杨氏双缝干涉的进一步讨论：

非单色光干涉
假设某一束光由两个波长组成，其波长分别为$\lambda-\frac12\Delta\lambda$和$\lambda+\frac12\Delta\lambda$，当长波长的第k级亮纹和短波长的第k+1级亮纹重合时，条纹无法辨认：
$k(\lambda+\frac12\Delta\lambda) = (k+1)(\lambda-\frac12\Delta\lambda)\Rightarrow k=\frac{\lambda-\frac12\Delta\lambda}{\Delta\lambda}$
显然两列光的波长差越小，越不容易出现条纹重合的情况。

光源不在对称轴上
需要额外引入光程相位差：
$\begin{aligned} \delta &= \frac{2\pi}{\lambda}d\sin{\theta}+\frac{2\pi}{\lambda}d\sin{\theta_0}\\ &=\frac{2\pi d}{\lambda D}x+\frac{2\pi d}{\lambda R}\xi \end{aligned}$
其中$\xi$为光源到对称轴的距离。

这种情况相当于对光源在对称轴的情况做以下变换：
$x\rightarrow x+\frac{D}{R}\xi$
光源具有扩展性
承继上述讨论，如果有两个点光源，一个位于$\xi$，一个位于$-\xi$，由于各点的发光具有随机性和独立性，可以视作非相干的电源，则光强函数分别为：
$I_1 = 4I_0\cos^2{\left(\frac{\pi d}{\lambda D}(x+\frac{D}{R}\xi)\right)}\\ I_2 = 4I_0\cos^2{\left(\frac{\pi d}{\lambda D}(x-\frac{D}{R}\xi)\right)}$
由于是非相干的电源，可以直接相加：
$I = I_1+I_2 = 4I_0(1+\cos{\frac{2\pi d}{\lambda R}\xi}\cos{\frac{2\pi d}{\lambda D}x})$
可以看到，衬比度变为：
$\gamma = |\cos{\frac{2\pi d}{\lambda R}\xi}|\leq 1$
对于线光源照明，只需要将求和改为积分即可：
$\begin{aligned} I &= 4I_0\int_{-\xi}^{+\xi}\cos^2{\left(\frac{\pi d}{\lambda D}(x+\frac{D}{R}\xi)\right)}d\xi\\ &=4I_0[1+\text{sinc}{(\frac{2 \pi d}{\lambda R}\xi)}\cos{(\frac{2\pi d}{\lambda D}x)}]\\ \end{aligned}$
衬比度变为：
$\gamma = |\text{sinc}{(\frac{2\pi d}{\lambda R}\xi)}|=|\frac{\sin{(\frac{2\pi d}{\lambda R}\xi)}}{\frac{2\pi d}{\lambda R}\xi}|\leq 1$
当第一次衬比度等于0的时候，称$l=2\xi_0=\dfrac{\lambda R}{d}$为光源的极限宽度。

一旦分波前干涉装置可以归结为双像系统或准双像系统，其干涉条纹的计算就可以通过杨氏双缝干涉的结果来类推。

菲涅尔双面镜

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做以下代换：

$d\rightarrow 2\alpha B,D\rightarrow B+C$

所以，条纹间距为：

$\Delta x = \frac{(B+C)\lambda}{2\alpha B}$

菲涅尔双棱镜

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做以下代换：

$d\rightarrow 2(n-1)\alpha B,D\rightarrow B+C$

所以，条纹间距为：

$\Delta x = \frac{(B+C)\lambda}{2(n-1)\alpha B}$

劳埃德镜

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条纹间距为：

$\Delta x = \frac{D\lambda}{2a}$

对切透镜

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分振幅干涉

薄膜干涉

薄膜干涉的光程相位差：

$\delta = \frac{2\pi}{\lambda}2nd\cos{\theta}$

条纹间距为：

$\Delta d = \frac{2\pi d}{\delta}= \frac{\lambda}{2n\cos{\theta}}$

影响光程相位差的要素主要有厚度$d$和入射角$\theta$，据此可分为等厚干涉和等倾干涉。

楔形薄膜（等厚干涉）

以垂直光入射，条纹间距为：

$\Delta d = \frac{\lambda}{2n}\Rightarrow \Delta x = \frac{\lambda }{2n\alpha}$

当倾角$\alpha$增大的时候，条纹间距变小，劈尖处的条纹固定，所以条纹会向劈尖处移动。由于半波损失，劈尖处为亮条纹。

等厚干涉的应用：

精密测量尺寸；
工件平整度检测。

牛顿环（等厚干涉）

以垂直光入射，条纹间距为：

$\Delta d = \frac{\lambda}{2n}\Rightarrow r_n=\sqrt{n\lambda R}$

等倾干涉

当条纹较密集的时候，光程相位差近似满足：

$\Delta\delta = \frac{2\pi}{\lambda}2nd\sin{\theta}\Delta \theta=2\pi\Rightarrow \Delta\theta = \frac{\lambda}{2nd\sin{\theta}}$

迈克尔逊干涉仪

迈克尔逊干涉仪是分振幅干涉的经典装置，通过调节两块平面镜的角度，可以制造等厚干涉和等倾干涉的条纹。

等厚干涉：两块平面镜并非平行；
等倾干涉：两块平面镜平行。

多光束干涉

我们讨论了薄膜干涉，但仔细想想就知道，其实我们只讨论了两束反射光的干涉。实际上，薄膜间存在多束反射光和出射光，他们也会形成干涉。

记膜外到膜内的振幅反射系数为$r$，透射系数为$t$；膜内到膜外的振幅反射系数为$r’$，透射系数为$t’$。由斯托克斯公式可得：

$\begin{aligned} r' &= -r\\ r^2+tt' &= 1\\ \end{aligned}$

斯托克斯公式的推导：利用光路可逆原理，可得：

$\begin{aligned} A=A(rr'+tt')\\ A(rt+r't)=0 \end{aligned}$
由此可证。其中，反射系数的符号来自于半波损失。

反射光的振幅分别为：

$\begin{cases} A_1=Ar\\ A_2=Atr't'\\ A_3=Atr'r'r't'=Atr'^3t'\\ \cdots \end{cases}$

考虑第一束反射光的半波损失，所有反射光的复振幅为：

$\begin{cases} \tilde{U}_1 = -Ar'\\ \tilde{U}_2 = Atr't' e^{i\delta}\\ \tilde{U}_3 = Atr'^3t' e^{i2\delta}\\ \cdots \end{cases}$

求和得到：

$\begin{aligned} \tilde{U} &= -Ar' + Atr't' e^{i\delta} + Atr'^3t' e^{i2\delta} + \cdots\\ &= -Ar' + Atr't' e^{i\delta}\sum_{n=0}^{\infty} (r'^2 e^{i\delta})^n\\ &= -Ar' + \frac{Atr't' e^{i\delta}}{1-r'^2 e^{i\delta}}\\ &= -Ar' + \frac{Ar'(1-r^2) e^{i\delta}}{1-r'^2 e^{i\delta}}\\ &= Ar - \frac{Ar(1-r^2) e^{i\delta}}{1-r^2 e^{i\delta}}\\ &= Ar\frac{1-e^{i\delta}}{1-r^2 e^{i\delta}}\\ \end{aligned}$

反射光强为：

$\begin{aligned} I &= \langle\left|U\right|^2\rangle = \langle\left|Ar\frac{1-e^{i\delta}}{1-r^2 e^{i\delta}}\right|^2\rangle\\ &= I_0\left|r\frac{1-e^{i\delta}}{1-r^2 e^{i\delta}}\right|^2\\ &= I_0r^2\frac{(1-e^{i\delta})(1-e^{-i\delta})}{(1-r^2 e^{i\delta})(1-r^2 e^{-i\delta})}\\ &= 2I_0r^2\frac{1-\cos{\delta}}{1-2r^2\cos{\delta}+r^4}\\ &= 2I_0r^2\frac{1-\cos{\delta}}{(1-r^2)^2+2r^2(1-\cos{\delta})}\\ &= 2I_0r^2\frac{1}{\frac{(1-r^2)^2}{1-\cos{\delta}}+2r^2}\\ &= \frac{I_0}{1+\frac{(1-R)^2}{4R\sin^2{\frac\delta2}}}\\ \end{aligned}$

同样的道理，我们可以得到透射光的光强：

$\begin{aligned} I &= \frac{I_0}{1+\frac{4R\sin^2{\frac\delta2}}{(1-R)^2}}\\ \end{aligned}$

对于透射光，记锐度系数$F=\frac{4R}{(1-R)^2}$，可知当$R\rightarrow 1$时，$F\rightarrow \infty$，此时透射光的光强分布随相位差的变化非常剧烈，可以用于改变薄膜的厚度来控制透射的光强。

法布里-珀罗干涉仪

法布里-珀罗干涉仪是分振幅干涉的经典装置，可以产生多光束干涉条纹，比迈克尔逊干涉仪的条纹更加细锐。

影响光程差的因素有二：倾角$i$和波长$\lambda$。折射率$n$和膜厚$d$是常数，所以光程差为：

$\delta = \frac{4\pi n d \cos{i}}{\lambda}$

非平行单色光

记衬比度关于光程相位差的函数是$\gamma(\delta)$，则其有半峰宽度$\varepsilon$来描述其锐度，由于条纹及其细锐，可以写为：

$d\delta = \frac{4\pi n d \sin{i}}{\lambda}di=\varepsilon$

解得：

$di = \frac{\varepsilon\lambda}{4\pi n d \sin{i}}$

另一方面，从多光束干涉的角度看，透射光的衬比度函数为：

$\gamma(\delta) = \frac{1}{1+\frac{4R\sin^2{\frac\delta2}}{(1-R)^2}}= \frac{1}{1+\frac{4R(\varepsilon/4)^2}{(1-R)^2}}$

解得：

$\varepsilon = \frac{2(1-R)}{\sqrt{R}}$

所以，第k级亮纹的角宽度为：

$di = \frac{2(1-R)\lambda}{4\pi n d \sin{i}\sqrt{R}}$

平行非单色光

平行光固定了入射角度为$i=0$，所以光程差为：

$\delta = \frac{4\pi n d}{\lambda}$

只有满足$\delta=2\pi k$的光线才能通过干涉仪。对应的波长为：

$\lambda_k = \frac{4\pi n d}{2\pi k} = \frac{2nd}{k}$

一般使用频率来表示：

$\nu_k = \frac{c}{\lambda_k} = \frac{kc}{2nd}$

相应的，光程差的变化为：

$d\delta = \frac{4\pi n d}{\lambda^2}d\lambda = \frac{4\pi n d}{\lambda^2}\frac{c}{\nu^2}d\nu=\frac{4\pi n d}{c}d\nu=\varepsilon$

所以谱线宽度为：

$d\nu = \frac{c}{4\pi n d}\varepsilon=\frac{c}{4\pi n d}\frac{2(1-R)}{\sqrt{R}}=\frac{c(1-R)}{\pi k \lambda_k\sqrt{R}}$

或者：

$d\lambda=\frac{\lambda(1-R)}{\pi k \sqrt{R}}$

称$\frac{\lambda}{d\lambda}$为色分辨本领：

$\frac{\lambda}{d\lambda}=\frac{\pi k\sqrt{R}}{1-R}$

空间相干性和时间相干性

一般使用衬比度来表示相干性的好坏，而衬比度由于光的空间延展性和时间延展性而受到影响。写出单色点光源的条纹光强函数：

$\begin{aligned} I &\propto\cos^2{\frac{\pi d}{\lambda D}x}\\&=\cos^2{\frac{kxd}{2 D}} \end{aligned}$

分别对空间$x$和时间$k$进行积分，可得$\text{sinc}$函数:

$\begin{aligned} I &\propto \int_{-\Delta x/2}^{+\Delta x/2}\cos^2{\left(\frac{kd}{D}(x+\frac{D}{R}\xi)\right)}d\xi\\ &=[1+\text{sinc}{(\frac{k d\Delta x}{2R})}\cos{(\frac{k d}{ D}x)}]\\ \end{aligned}$ $\begin{aligned} I &\propto \int_{-\Delta k/2}^{+\Delta k/2}\cos^2{\left(\frac{dx}{D}(k_0+k)\right)}dk\\ &=[1+\text{sinc}{(\frac{\Delta k xd}{2D})}\cos{(\frac{k_0 d}{ D}x)}]\\ \end{aligned}$

通过其第一个零点可得：

$\begin{aligned} Space&:\frac{\Delta x}{R}\sim \frac{\lambda}{d}\\ Time&:\frac{\Delta \lambda}{\lambda^2}\sim \frac{D}{xd} \end{aligned}$

将其一般化，可得：

$\begin{aligned} Space&:\Delta \theta\sim \frac{\lambda}{d}\Rightarrow d=\frac{\lambda}{\Delta \theta}\\ Time&:\frac{\Delta \lambda}{\lambda^2}\sim \frac{1}{\Delta L}\Rightarrow \Delta t=\frac{\Delta L}{c}\sim \frac{1}{\Delta \nu} \end{aligned}$

这意味着：

相干宽度正比于波长，反比于光源的发散角；
相干时间反比于光源的频谱宽度。

一旦使用扩展光源，肯定会牺牲相干性；但是不使用扩展光源，又会导致光源的亮度降低。激光这一发光面小，强度高，时间相干性强的光源应运而生。