如果说能带是晶体的静态性质，那么电子的输运性质，包括电导、热导等，则是晶体的动态性质。

Drude的经典金属模型

Drude作出如下假设：

独立电子近似：忽略电子与电子之间的相互作用；
自由电子近似：除碰撞外，忽略电子和离子的相互作用（感受不到周期势场）；
弛豫时间近似：电子与离子的碰撞满足泊松过程；
通过碰撞来达到局域热平衡，且碰撞后速度与碰撞前速度无关。

假设弛豫时间为$\tau$，在外场$\vec{F}$作用下，电子有$(1-\dfrac{dt}{\tau})$的概率不发生碰撞，有$\dfrac{dt}{\tau}$的概率发生碰撞（由于速度的随机分布，平均动量为0），则Drude模型中电子的运动方程为：

$\vec{p}(t+dt)=(1-\frac{dt}{\tau})[\vec{p}(t)+\vec{F}dt]+0\times\frac{dt}{\tau}$

化简得到：

$\frac{d\vec{p}}{dt}=\vec{F}-\frac{\vec{p}}{\tau}$

Drude模型中电子在电场、磁场和温度梯度场中的运动可以导出宏观电导、霍尔效应和热导。

电场

$\frac{d\vec{p}}{dt}=-e\vec{E}-\frac{\vec{p}}{\tau}$

解得：

$\vec{p}(t)=\vec{p}(0)e^{-\frac{t}{\tau}}-\tau e\vec{E}$

平衡后，电子的速度为：

$\vec{v}_D=-\frac{\tau e\vec{E}}{m}$

电流密度为：

$\vec{J}=-ne\vec{v}_D=\frac{n\tau e^2}{m}\vec{E}=\sigma\vec{E}$

从而可以导出电导：

$\sigma=\frac{n\tau e^2}{m}$

实验测得的电导在高温时有着较好的近似，但在低温情况下偏差较大，这是因为弛豫时间随温度有很大的变化。一个与弛豫时间无关的模型是霍尔效应。

霍尔效应

$\frac{d\vec{p}}{dt}=-e\vec{E}-\frac{e\vec{p}}{m}\times\vec{B}-\frac{\vec{p}}{\tau}$

令$\frac{d\vec{p}}{dt}=0$，得：

$\vec{E}=-\frac{\vec{p}}{m}\times\vec{B}-\frac{\vec{p}}{e\tau}$

将动量表示为电流：

$\vec{p}=m\vec{v}_D=-\tau e\vec{E}=-m\vec{J}/ne$

代入得到：

$\vec{E}=\frac{1}{ne}\vec{J}\times\vec{B}+\frac{1}{\sigma}\vec{J}$

定义霍尔系数为：

$R_H=-\frac{1}{ne}$

实验中，一价金属符合得很好，但是其他价态区别很大，有的甚至是负数（如Al），有的甚至小了很多个数量级如（Bi）。这是因为Drude模型从根本上是非量子的，这在下面的Sommerfeld模型中会得到改进。

热导

电子在温度梯度场中不受到外场力，因此需要从统计的角度分析。考虑从$x\pm L$运动到$x$的电子，考虑电子携带的能量是温度的函数，那么热流为：

$J_Q=\frac{1}{2}nv_D[\varepsilon(T(x-L))-\varepsilon(T(x+L))]$

化为微分方程：

$J_Q=-nv_D^2\tau\frac{d\varepsilon}{dT}\frac{dT}{dx}$

考虑三维情况，速度均方为原来的三分之一：

$J_Q=-\frac{1}{3}nv_D^2\tau c_v\nabla T$

由热导的定义得到：

$\kappa=\frac{1}{3}\tau v_D^2 c_v$

洛伦兹数定义为：
$L=\frac{\kappa}{\sigma T}=\frac{\pi^2}{3}(k_B/e)^2$
是一个和材料性质无关的常数，实验中符合得很好。

Sommerfeld的量子金属模型

Drude模型的局限从实验上看，在于：

无法解释电子的热容极小的问题，根据经典理论，其热容达$\frac{3}{2}R$，但整个晶体也就$3R$（爱因斯坦模型）；
无法解释金属的电导率随温度的变化规律，经典理论认为电导率$\sigma\propto T^{-1/2}$，但实验中发现$\sigma\propto T^{-1}$；
从理论上看，Drude模型认为电子的碰撞是频繁的，且忽略了晶体对电子的作用。Sommerfeld认为在势场的约束下，电子得到约束，反而更加自由。

Sommerfeld沿用了Drude的两个假设，并对碰撞假设进行了修正：

独立电子近似：忽略电子与电子之间的相互作用；
自由电子近似：除碰撞外，忽略电子和离子的相互作用（感受不到周期势场）；
不碰撞假设：电子不但不与电子碰撞，也不与离子碰撞；
费米狄拉克分布：由于电子是费米子，遵循费米-狄拉克统计。

Sommerfeld模型“让电子更加自由”。

零温下的费米能

由费米统计可知：

$f(E)=\frac{1}{e^{\frac{E-\mu}{k_BT}}+1}$

$分布函数在$T=0$和$T\neq$时的图像$

当$T=0$的时候，分布函数存在突变：

$f(E)=\begin{cases} 1, & E<\mu \\ 0, & E>\mu \end{cases}$

突变点为电子的化学势$E_F=\mu$，也称为费米能。现在的问题是如何确定费米能的数值。

考虑三维电子气，最高能级的量子数和电子的个数存在以下关系：

$2\times\frac{1}{8}\times\frac{4}{3}\pi m_F^3=N\rightarrow m_F=\sqrt[3]{\frac{3N}{\pi}}$

用分布函数表示的话：
$N=\int_0^{\infty}N(E)f(E)dE=\int_0^{E_F}N(E)dE$
其中$N(E)=\frac{L^3}{2\pi^2}(2m/\hbar)^{3/2}E^{1/2}$。最终得到：
$N=\frac{L^3(2m/\hbar)^{3/2}}{3\pi^2}E_F^{3/2}$
相应地，费米能对应的波矢为：
$k_F=\frac{m_F\pi}{L}=\sqrt[3]{3\pi^2 n}$
费米能是电子占据与否的分界线，类比于声子的德拜频率：
$\omega_D=\sqrt[3]{6\pi^2 n}$
系数的差别源于电子可以在一个轨道上占据两个态，而声子只能占据一个。

相应的费米能为：

$E_F=m_F^2\frac{\pi^{2}\hbar^{2}}{2mL^{2}}=\frac{\hbar^{2}}{2m}(3n\pi^2)^{\frac23}$

其中$n=\frac{N}{L^3}$。

该基态的总能量为：

$E_{tot}=\int_0^{m_F} E_F(m_F)\frac18(4\pi m_F^2)dm_F =\frac15 \frac{\pi^{3}\hbar^{2}}{2mL^{2}} m_F^5=\frac{3}{5}E_FN$

电子气的零温压强为：

$P=\frac23\frac{E_{tot}}{V}=\frac23\frac{3}{5}E_Fn=\frac{2}{5}E_Fn$

零温下的费米能其实就是化学式，但是当温度升高时，化学势会发生变化。

非零温下的化学势

非零温下的分布函数不再是阶跃函数，但仍然近似满足：

$f(E)=\begin{cases} 1, & E\ll\mu \\ 1/2,& E\approx\mu \\ 0, & E\gg\mu \end{cases}$

并且有：

$-\frac{\partial f(E)}{\partial E}=\frac{1}{k_BT}\frac{e^{\frac{E-\mu}{k_BT}}}{(e^{\frac{E-\mu}{k_BT}}+1)^2}\approx \delta(E-\mu)$

和上面的思路一样，我们先通过电子总数的积分式来确定化学势：

$N=\int_0^{\infty}N(E)f(E)dE=\int_0^{\infty}\frac{N(E)}{e^{\frac{E-\mu}{k_BT}}+1}dE$

其中$N(E)=\frac{L^3}{2\pi^2}(2m/\hbar)^{3/2}E^{1/2}$。

引入无量纲量：$x=\frac{E}{k_BT},\eta=\frac{\mu}{k_BT}$，则有：

$N=\frac{L^3(2m/\hbar)^{3/2}}{2\pi^2}(k_BT)^{3/2}\int_0^{\infty}\frac{x^{1/2}}{e^{x-\eta}+1}dx$

从中发现了费米狄拉克积分：

$F_{1/2}(\eta)=\int_0^{\infty}\frac{x^{1/2}}{e^{x-\eta}+1}dx$

在低温极限$\eta\gg 1$下，费米狄拉克积分近似为：

$F_{1/2}(\eta)\approx \frac23\eta^{2/3}(1+\frac{\pi^2}{8}\eta^{-2}+\cdots)$

所以：

$N=\frac{L^3(2m/\hbar)^{3/2}}{3\pi^2}\mu(T)^{2/3}(1+\frac{\pi^2}{8}\eta_F^{-2})$

反解得到：

$\begin{aligned} \mu(T)&=\mu(0)(1+\frac{\pi^2}{8}\eta_F^{-2})^{-3/2}\\ &\approx \mu(0)(1-\frac{\pi^2}{12}\eta_F^{-2})\\ &\approx \mu(0)(1-\frac{\pi^2}{12}\eta_F^{-2}|_{T=0})\\ \end{aligned}$

最终得到：

$\mu(T) = \mu(0)\left[1 - \frac{\pi^2}{12}(\frac{k_BT}{\mu(0)})^2\right]$

以及电子的比热容：

$C_V = \frac{\pi^2}{2}N k_B (\frac{T}{T_F})$