金属电子论

自由电子气

由费米统计可知：

$$f(E)=\frac{1}{e^{\frac{E-\mu}{k_BT}}+1}$$

当$T=0$的时候，分布函数存在突变，突变点为电子的化学势$E_F=\mu$，也称为费米能。现在的问题是如何确定费米能的数值。

考虑三维电子气，最高能级的量子数和电子的个数存在以下关系：

$$\frac{1}{8}\times\frac{4}{3}\pi n^3=N\rightarrow n=\sqrt[3]{\frac{6N}{\pi}}$$

相应的费米能为：

$$E_F=n^2\frac{\pi^{2}\hbar^{2}}{2mL^{2}}=\frac{\hbar^{2}}{2m}(3\rho\pi^2)^{\frac23}$$

其中$\rho=\frac{N}{L^3}$。

该基态的总能量为：

$$E_{tot}=2\int_0^n E_F(n)\frac18(4\pi n^2)dn =\frac15 \frac{\pi^{3}\hbar^{2}}{2mL^{2}} n^5=\frac{3}{5}E_FN$$

电子气的零温压强为：

$$P=\frac23\frac{E_{tot}}{V}=\frac23\frac{3}{5}E_F\rho=\frac{2}{5}E_F\rho$$

当温度$T\neq0$的时候，可以算出费米能随温度的变化函数：
$E_F = E_F^0\{1 - \frac{\pi^2}{12}(\frac{k_BT}{E_F^0})^2\} $

以及电子的比热容：

$$C_V = \frac{\pi^2}{2}N k_B (\frac{T}{T_F})$$