统计物理中，我们已经讨论过德拜的理论。在德拜理论之前，有一个类似的复杂理论给出了较为相同的结果——玻恩-冯卡门理论。

简正模和格波

考虑哈密顿量为：

$H=\sum_{i} \frac{p_{i}^{2}}{2 m}+\sum_i (\frac{\partial V}{\partial q_i})_0q_i+\frac12\sum_{i,j} (\frac{\partial^2 V}{\partial q_i\partial q_j})_0q_iq_j$

在平衡位置附近，哈密顿量可以写成：

$H=\sum_{i} \frac{p_{i}^{2}}{2 m}+\frac12\sum_{i,j} \lambda_{ij}q_iq_j$

由正则方程$\dot{p}_i=-\frac{\partial H}{\partial q_i}$，我们可以得到：

$\ddot{q}_i+\sum_j \lambda_{ij}q_j=0$

解这个方程是困难的，不过我们可以使用正交变换。考虑哈密顿量的矩阵形式：

$H=\frac12\vec{q}^T\vec{q}+\frac12\vec{q}^T\Lambda\vec{q}=\frac12\vec{Q}^T\vec{Q}+\frac12\vec{Q}^T\Omega\vec{Q}$

这样，正则方程给出：

$\ddot{Q}_i+\sum_j \Omega_{ij}Q_j=0\Rightarrow Q_i=C_i\exp(-i\omega_i t)$

现在我们解系数关于位置的函数。考虑：

$Q_i=Q(\vec{r_i})\exp(-i\omega_i t)=Q(l_1\vec{a}_1+l_2\vec{a}_2+l_3\vec{a}_3)\exp(-i\omega_i t)=Q(l_1\vec{a}_1)Q(l_2\vec{a}_2)Q(l_3\vec{a}_3)\exp(-i\omega_i t)$

假设：

$Q(\vec{a}_i)=\lambda(\vec{a}_i)Q(0)$

那么：

$Q(\vec{r}_i)=\lambda^{l_1}(\vec{a}_1)\lambda^{l_2}(\vec{a}_2)\lambda^{l_3}(\vec{a}_3)Q(0)$

这意味着：

$|\lambda(\vec{a}_i)|=1$

同时：

$Q(\vec{a}_i+\vec{a}_j)=Q(\vec{a}_i)Q(\vec{a}_j)$

解得：

$Q(\vec{a}_i)=\exp(i\vec{q}\cdot\vec{a}_i)$ $Q(\vec{R}_l,t)=Q(0)\exp(i\vec{q}\cdot\vec{R}_l-i\omega t)$

得到的这个类波解被称为格波，只在格点的原子上有定义。

一维单原子链的振动

考虑原子间的作用力（简谐近似）：

$F_l=\sum_p \beta_p(u_{l+p}-u_l)$

考虑平移对称性：

$\beta_{+1}=\beta_{-1}=\beta_0$

只考虑相邻原子的相互作用（最近邻假设），运动方程可以写成：

$m\ddot{u}_l=\beta(u_{l+1}+u_{l-1}-2u_l)$

将格波解$u_l=A\exp{(qla-\omega t)}$代入：

$\omega(q)=2\sqrt{\frac{\beta}{m}}\left|\sin\left(\frac{qa}{2}\right)\right|$

其中$q$是波矢。

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格波特性：

周期性：可以看到频谱是倒空间的周期函数，且$q$和$q+K_h$代表了同一简正模： $\omega(q)=\omega(q+\frac{2\pi}{a}h)=\omega(q+K_h)$
频谱成带状结构： $\omega\leq\omega_{max}=2\sqrt{\frac{\beta}{m}}$

一般限制波矢在一个倒格子元胞内。
$-\frac{\pi}{a}<q\leq \frac{\pi}{a}$

长波极限或连续介质极限：取$q\rightarrow0$，得到退化色散关系： $\omega(q)=\sqrt{\frac{\beta}{m}}qa=cq$

以上解考虑的是无穷长原子链，然而实际的晶体是有限的，通过考虑周期性边界条件，玻恩-冯卡门条件可以等效为一个无限长原子链中传播的波。

显然对波矢有一定的限制：
$q=\frac{2\pi h}{Na},-\frac N2<h\leq \frac N2$
这意味着，一维单原子链中的独立波矢数为元胞的个数，波矢的密度为：
$\frac{N}{\Omega^*}=\frac{Na}{2\pi}=\frac L{2\pi}$

一维双原子链振动

简谐近似加上最近邻假设：

$m\ddot{u}_l=\beta(v_{l+1}+v_{l-1}-2u_l)$ $m\ddot{v}_l=\beta(u_{l+1}+u_{l-1}-2v_l)$

带入格波解$u_l=A\exp(iqla-\omega t),v_l=B\exp(iqla-\omega t)$：

$\omega^2_\pm(q)=\beta\frac{m_2+m_1}{m_2m_1}\{1\pm[1-\frac{4m_2m_1}{(m_2+m_1)^2}\sin^2{(\frac12qa)}]^\frac12\}$

轻重原子的振幅比为：

$\frac{B}{A}=-\frac{m_1\omega_\pm^2(q)-2\beta}{\beta(1+e^{-iqa})}$

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注意到这里有正负两个解，分别命名为光学支和声学支。

对于声学支，当$q\rightarrow0$时：
$\omega_-(q)=cq$ $\alpha_-\approx 1$
这意味着轻重原子的相位和振幅相同（微扰，一起振动），且表现为长波弹性波。
对于声学支，当$q\rightarrow\frac{\pi}{a}$时：
$\omega_-(q)=\sqrt{\frac{2\beta}{m_1}}$ $\alpha_-\approx 0$
这意味着重原子振动，而轻原子不动。
对于光学支，当$q\rightarrow0$时：
$\omega_+(q)=\sqrt{\frac{2\beta}{\mu}}$ $\alpha_+\approx -\frac{m_1}{m_2}$
这意味着轻重原子的相位相反（反向振动），而质心不动。
对于光学支，当$q\rightarrow0$时：
$\omega_+(q)=\sqrt{\frac{2\beta}{m_2}}$ $\alpha_+\approx i\infty$
这意味着轻原子振动，而重原子不动。

格波的性质：

周期性：$\omega_\pm(q)=\omega_\pm(q+K_h)$
频谱：$\omega<\sqrt{\frac{2\beta}{m_1}},\sqrt{\frac{2\beta}{m_2}}<\omega<\sqrt{\frac{2\beta}{\mu}}$
退化为单原子链：$m_1=m_2,\omega(q)=\omega_+(q)=\omega_-(q)$
独立波矢数等于元胞数；独立模式数等于自由度数（原子个数）。

三维晶格振动

对于N个元胞的晶体，假设每个元胞中含有n个原子，那么总自由度是3nN，也就是说独立的模式数为3nN。对于n个不同的原子，可以列出3n个运动方程，其中有3个声学支和3n-3个光学支。其中$\frac13$是纵波，另外$\frac23$是横波。

一个波矢对应了3n个不同的频率，那么状态数（state）$s=1,2,\cdots,3n$，对应的频率为$\omega_s(q)$。

声子是格波的量子，其能量本征值为：

$E_s(q)= (n_{q,s}+\frac12)\hbar\omega_s(q)$

运用统计力学的方法，先计算正则配分函数（平移处理$\frac12$）：

$Z=\sum_s e^{-\beta E_s(q)}=\frac{1}{1-e^{-\beta\hbar\omega_s(q)}}$

简正模上的平均声子数为：

$\langle n_{q,s}\rangle=\frac{\langle U_{q,s}\rangle}{\hbar\omega_s(q)}=\frac{1}{e^{\beta\hbar\omega_s(q)}-1}$

对应着玻色-爱因斯坦分布。这说明声子是玻色子。显然声子不是守恒的，意味着化学势为0，这在上述的分布中也表现了。

作为一种准粒子，声子并不携带物理动量。以一维单原子链为例，其动量为：

$p=m\frac{d}{dt}{\sum_l u_l(t)}=m\frac{d}{dt} u(t){\sum_l e^{iqla}}=m\frac{d}{dt} u(t)N\delta_{q,0}$

显然，在非零模式下，粒子动量相互抵消，这也是显然的；零模式下，对应着晶体的平移，当然这不属于粒子本身的动量。

不过，我们考虑外界粒子和晶体的相互作用时，可以引入准动量来保证内部波矢的守恒（比如一个非弹性的光子散射）：

$\vec{k}'-\vec{k}=\pm\vec{q}+\vec{K_h}$ $E_{\vec{k}'}-E_{\vec{k}}=\pm\hbar\omega_{\vec{q}}$