坐标和时间

引言

由于天体发出的近似平行光，确定天体的径向坐标是困难的，需要其他的方法。不过确定横向坐标是简单的，这引入了天球坐标系。

基本点和基本圈

对于地球：

• 地轴$PP^\prime$
• 地理赤道$QQ^\prime$
• 纬度圈$LML^\prime$
• 经度圈（子午圈）$PMP^\prime$
• 本初子午圈$PGP^\prime$
  

对于天球：

• 天轴就是地轴的无限延长
• 天极是天轴和天球的两个交点
• 天赤道就是地球赤道面和天球的交线，相交面称为天赤道面
• 天顶$Z$是观测者头上的顶点；天底$Z^\prime$同理
• 地平$NS$即相对观测者的地平面
  
• 黄道是地球公转轨道面和天球的交线
• 黄道上有春分点、夏至点、秋分点、冬至点
  

  天球坐标系

  地平坐标系

• 基本圈：真地平
• 原点：南点$S$
• 地平经度$SM$，东负西正
• 地平维度$MX$，上正下负
• 天顶距$ZX$
  
  由于天体的地平坐标随时间和观测者空间改变，其在天文学不常用，不过在航海航空等领域常用，这些领域关注短时间尺度下自身领域空间的行为。

  时角坐标系（第一赤道坐标系）

• 基本圈：天赤道
• 原点：南点$S$在基本圈的投影$Q^\prime$
• 赤纬$XT$
• 时角$Q^\prime T$
  
  由于固定了观测者的方向，时间也会和观测者的位置相关，随着天体的运动，时角会逐渐增大，在天文学领域用的不多。

  赤道坐标系（第二赤道坐标系）

• 基本圈：天赤道
• 原点：春分点
• 赤经$\gamma T$，由西向东计算
• 赤纬$TX$
  
  春分点是固定点，这就是一个固定的坐标系。地球的自转转化为恒星的绕轴运动。

  黄道坐标系

• 基本圈：黄道
• 原点：春分点
• 黄经：$\gamma L$
• 黄纬：$LX$
  
  这同样是一个固定的坐标系，意味着赤经赤纬和黄经黄纬可以不含时转化。在研究太阳系内天体时常用。

  银道坐标系

• 基本圈：银道面
• 原点：升交点$\Omega$
  

表格

坐标系	基本圈	原点	极轴	纬度坐标	经度坐标
地平坐标系	真地平	南点$S$	天顶与天底	高度角$a$	方位角$A$
时角坐标系	天赤道	南点投影$Q^\prime$	北极南极	纬度$\delta$	时角$h$
赤道坐标系	天赤道	春分点$\gamma$	北极南极	纬度$\delta$	赤经$\alpha$
黄道坐标系	黄道面	春分点$\gamma$	黄轴	黄纬$\beta$	黄经$\lambda$
银道坐标系	银道面	升交点$\omega$	银轴	银纬$b$	银经$l$

角度的换算

将$(\theta,\phi)$坐标绕y轴旋转$\chi$角后得到$(\theta^\prime,\phi^\prime)$坐标：

$$\begin{cases} \cos{\phi^{\prime}}\sin{\theta^{\prime}}=\cos{\phi}\sin{\theta}\cos{\chi}+\cos{\theta}\sin{\chi}\\ \sin{\phi^{\prime}}\sin{\theta^{\prime}}=\sin{\phi}\sin{\theta}\\ \cos{\theta^{\prime}}=\cos{\theta}\cos{\phi}-\cos{\phi}\sin{\theta}\sin{\chi} \end{cases}$$

而$\chi$就是常见坐标系的交角，如

• 黄赤交角：$\epsilon=23^\circ 26^\prime$
• 银赤交角：$i=62^\circ$
• 地平与赤道交角：观测者的纬度$90^\circ-\psi$

时角坐标系->地平坐标系

$$\begin{cases} \theta^\prime=\frac\pi2-a\\ \theta=\frac\pi2-\delta\\ \phi^\prime=-A\\ \phi=-h\\ \chi=\frac\pi2-\psi \end{cases}$$

永不升起和落下的天体

现在我们只关心地平坐标系下天体的高度角（假设$\psi\geq0$），可以解出：

$$\sin{a}=\sin{\delta}\sin{\psi}+\cos{h}\cos{\delta}\cos{\psi}$$

随着时间的变化，$\cos{h}$会取极大值极小值，那么高度角的最大值：

$$\begin{cases} a_{max}=90^\circ-(\delta-\psi)&\delta\geq \psi\\ a_{max}=90^\circ-(\psi-\delta)&\delta\leq\psi\\ \end{cases}$$

如果$a_{max}\leq0$，那么这个天体永不升起。

特别的，当$\psi=90^\circ$时，南半球的天体是看不见的；当$\psi=0^\circ$时，所有的天体都不会永不升起和落下。

时角和恒星时的转换

时角坐标系到地平坐标系的转换由于两个参考系都是动的，相对而言，经度的转变就没有时间项。若考虑时角坐标系到赤道坐标系的转换，有一个周日运动造成的时间项。

由于我们定义了春分点直对太阳的时间为恒星时0点，而春分点的平时为12点，这中间差了半周的运动，我们可以把平时和恒星时的关于月份的转换关系写出：

$$地方恒星时=平时+2h\times (月份-9.75)$$