尚未解决的几大问题：

费米加速的代码模拟必须使用相对论变换，具体见下述推导。done

实现代码后，精度的划分是否有显著的影响，是否能够收敛？由于费米加速是按照次数加速，如何将其用于理论模型？

如何划分云团？这只对理论模型的建立有影响。

如何模拟后续的加速减速竞争？需要推导同步辐射的功率。

如何模拟射电晕的结构？需要推导$\gamma$和辐射功率的关系。

为什么一定要用相对论变换？

此前我认为云团的速度远小于光速，所以可以使用伽利略变换近似，这是错误的。如果使用伽利略变换：

假设云团的速度为$v_0$，电子的入射速度是$v_1$，出射速度是$v_2$，入射出射角度分别是$\theta_1,\theta_2$。则出射速度和入射速度的能量守恒关系为

$(v_1\cos{\theta_1}-v_0)^2+(v_1\sin{\theta_1})^2=(v_2\cos{\theta_2}-v_0)^2+(v_2\sin{\theta_2})^2$

化简有

$v_1^2-2v_0v_1\cos{\theta_1}=v_2^2-2v_0v_2\cos{\theta_2}$ $v_2^2-2v_0v_2\cos{\theta_2}-v_1^2+2v_0v_1\cos{\theta_1}=0$

求解$v_2$有：

$v_2=v_0\cos{\theta_2}\pm\sqrt{v_0^2\cos^2{\theta_2}+v_1^2-2v_0v_1\cos{\theta_1}}$

考虑到$v_1\gg v_0$，进行小量近似可得：

$\delta v\propto \frac{v_0^2}{v_1}$ $\delta E\propto \frac{\delta v}{v_1} \propto \beta^2$

这里假设了$\theta_2$与$\theta_1$无关，则$\theta_2$自由平均。这主要是基于电子的拉莫尔半径是

$R=\frac{\gamma mv}{qB}= 1.7\times10^{7}\gamma(\frac{v}{1c})(\frac{B}{1\mu G})^{-1}m\approx 10^{10}m\ll 1pc=3\times 10^{16}m$

这说明云团的尺寸和局域磁场的尺寸有着较大的差别，局域磁场的尺寸应该远小于云团的尺寸（不然电子会一直打转）。

我们回到这个公式

$v_2=v_0\cos{\theta_2}+\sqrt{v_0^2\cos^2{\theta_2}+v_1^2-2v_0v_1\cos{\theta_1}}=v_1+v_0(\cos{\theta_2}-\cos{\theta_1})+\frac{v_0^2\cos^2{\theta_2}}{2v_1}$

这里其实是有问题的，小量近似本身是二阶精度，那么最后一项是不可以保留的。此外，倒数第二项的意义保证了只和头尾有关。对$\theta_1$和$\theta_2$进行数值积分，可以知道如果不进行小量近似，那么整体上是减速的。

这是因为虽然云团的速度远小于光速，但是高速粒子的速度却和光速差不多(0.999c)，如果使用伽利略变换，可能会导致粒子速度高于光速，这是不可能的。

保留小量的相对论变换

我们来估计相对论电子的$\gamma_e$系数，考虑到观测到的射电晕的频率在1-4GHz，并由

$f=2\times 10^6 \gamma^2 (\frac{B}{1G})$

可以估算出

$\gamma_e>10^3$

$\gamma_e$系数和动量，能量的换算关系：

$E=\gamma_e m_0 c^2$ $E^2=p^2c^2+ m_0^2 c^4\Rightarrow p=\sqrt{\gamma_e^2-1}m_0c$

Fermi的推导中用到了小量近似：

$E^*_1=\gamma(E_1-\beta p_1\cos{\theta_1}c)=\gamma E_1(1-\beta \cos{\theta_1})$

这个地方如果不使用小量近似：

$E^*_1=\gamma(E_1-\beta p_1\cos{\theta_1}c)=\gamma m_0 c^2(\gamma_e-\beta \sqrt{\gamma_e^2-1}\cos{\theta_1})=\gamma E_1(1-\beta \sqrt{1-\gamma_e^{-2}}\cos{\theta_1})$

相当于这个地方的小量近似误差为$O(\beta\gamma\gamma^{-2}_e m_0c^2)$，而费米加速的能量增加率为$\beta^2 \gamma_e m_0c^2$。我们关心这两个的数量级，幸运的是，看上去可以弥补这个误差。下面是详细的推导：

$E^*_1=\gamma E_1(1-\beta \sqrt{1-\gamma_e^{-2}}\cos{\theta_1})$ $E_2=\gamma E_1^*(1+\beta \sqrt{1-\gamma_e^{-2}}\cos{\theta_2})$

所以：

$\begin{aligned} E_2&=\gamma^2 E_1(1-\beta \sqrt{1-\gamma_e^{-2}}\cos{\theta_1})(1+\beta \sqrt{1-\gamma_e^{-2}}\cos{\theta_2})\\ &=\gamma^2 E_1(1-\beta \sqrt{1-\gamma_e^{-2}}\cos{\theta_1}+\beta \sqrt{1-\gamma_e^{-2}}\cos{\theta_2}-\beta^2(1-\gamma_e^{-2})\cos{\theta_1}\cos{\theta_2}) \end{aligned}$ $\begin{aligned} \langle \epsilon\rangle&=\gamma^2 (1-\beta \sqrt{1-\gamma_e^{-2}}\cos{\theta_1}+\beta \sqrt{1-\gamma_e^{-2}}\cos{\theta_2}-\beta^2(1-\gamma_e^{-2})\cos{\theta_1}\cos{\theta_2})-1\\ &=\frac{\beta^2-\beta \sqrt{1-\gamma_e^{-2}}\cos{\theta_1}+\beta \sqrt{1-\gamma_e^{-2}}\cos{\theta_2}-\beta^2(1-\gamma_e^{-2})\cos{\theta_1}\cos{\theta_2}}{1-\beta^2}\\ &=\frac{\beta^2(1-(1-\gamma_e^{-2})\cos{\theta_1}\cos{\theta_2})+\beta \sqrt{1-\gamma_e^{-2}}(\cos{\theta_2}-\cos{\theta_1})}{1-\beta^2}\\ &\approx\frac{\beta^2\cos{\theta_1}\cos{\theta_2}+\beta (\cos{\theta_2}-\cos{\theta_1})}{1-\beta^2} \end{aligned}$

这和之前的推导是一致的。

相对论部分代码推导及其数量级

上面的模型或许可以用于解释或者建立解析模型，但是对于第一性的模拟来说却是不够的，第一点是划分精度决定加速效率的问题（下面再说），第二点就是在确定而非随机磁场中角度和速度大小的变化。

原本的速度变换公式为：

${u^{\prime}}=\frac{\sqrt{1-v^2}{u}-\frac{1-\sqrt{1-v^2}}{v^2}({u}\cdot{v}){v}-{v}}{1-{u}\cdot{v}}$

在新的参考系中，粒子做无能量耗散的圆周运动，其半径为

$R=\frac{\gamma mv}{qB}$

云团的尺寸假设为1pc，以光速运动的电子也需要3年的时间穿过，如果第一性原理计算量极大，而使用费米加速模型或许可以简化一些计算量。

转念一想，云团的尺寸大啊，我只需要在里面做一次相对论变换，至于怎么在磁场中转，这涉及到了磁场的模型，不如在足够大的情况下假设随机出射。（注意，是新系下的随机出射）

不对，还是得考虑随机偏转，因为出射角度可能和入射角度不独立。

由于云团的速度较小，忽略云团的移动。开始运动时，判断处于哪个云团，做相对论速度变换和位置变换。粒子仿照磁场偏转的办法，在其中做随机正态分布的偏转（记得$\times \gamma$），时间步为？

解析模型遇到的问题

不是简单的扩散，加速度空间可以视为随机游走，但是速度是其一阶积分，位移是其二阶积分，最终呈现的效果有待计算。
希望解析模型反应index和位置的关系。但是加速机制却和次数而不是和位置有关（见下），这里希望能有一个异于费米模型的模型，结合上面一点，在速度空间描述其变化，假定云团变成随机速度场，或许可以解决？
基于射电晕有寿命且生成于并和时期的事实，如何反应湍流的程度影响加速效果？云团的平均速度大小，还是速度场的不均匀度（云团的个数）？