同步辐射

同步辐射的功率为：

$P=\frac{2}{3}\frac{q^2a^2\gamma^4}{c^3}$

代入

$R=\gamma\frac{mv_\perp}{qB}$ $a=\frac{v^2_\perp}{R}$

得到

$\begin{aligned} P&=\frac{2}{3}\frac{q^2v^4_\perp\gamma^4}{R^2c^3}\\ &=\frac{2}{3}\frac{q^2v^4_\perp\gamma^4}{c^3}(\gamma\frac{mv_\perp}{qB})^{-2}\\ &=\frac{2}{3}\frac{q^2v^2_\perp\gamma^2}{c^3}\frac{q^2B^2}{m^2}\\ &=\frac{2}{3}\frac{q^4v^2_\perp\gamma^2B^2}{m^2c^3}\\ &=\frac{2}{3}\frac{q^4\beta^2_\perp\gamma^2B^2}{m^2c}\\ \end{aligned}$

对于统计意义的功率来说，$\beta_\perp$总是$\beta$的某一比值：

$\langle\beta_\perp^2\rangle=\frac{\int_{0}^{\pi}\beta^2\cos^2{\theta}\sin{\theta}d\theta}{\int_{0}^{\pi}\sin{\theta}d\theta}=\frac{2\beta^2}3$

所以：

$P=(\frac{2}{3})^2\frac{q^4\beta^2\gamma^2B^2}{m^2c}=(\frac{2}{3})^2\frac{q^4B^2}{m^2c}(\gamma^2-1)\approx\frac{4}{9}\frac{q^4B^2}{m^2c}\gamma^2$

对于电子进行数值讨论：

$P\approx\frac{4}{9}\frac{q^4B^2}{m^2c}\gamma^2=1.3\gamma^2\times10^{-38}(\frac{B}{1\mu G})^2J/s$

对于代码模拟来说，其实只需要知道和$\gamma$的比例关系即可

谱指数转换

在模拟中，一般知道的是

$N(E)dE\propto E^{-p}dE$

也即

$N(\gamma)d\gamma\propto \gamma^{-p}d\gamma$

如何转化为观测量

$P(\omega)\propto\omega^{-s}$

这里给出了公式

$s=\frac{p-1}2.$

一般而言，$s\in [-2,-1]$，那么对应的，$p\in [-3,-1]$。