量子力学的基本假设规定基本粒子是不可区分的，不可区分的粒子即为全同粒子。当研究两个相同粒子体系的时候，不可避免涉及到相互作用的问题，为了简单起见，我们假设两个粒子没有相互作用。

波函数的交换对称性

既然两个粒子是不可区分的，他们的波函数满足：

$|\psi_{1,2}|^2=|\psi_{2,1}|^2$

这必然要求$\psi_{1,2}=e^{i\theta}\psi_{2,1}=e^{2i\theta}\psi_{1,2}$，也即：

$\psi_{1,2}=\pm\psi_{2,1}$

这样似乎可以写出体系的波函数了：

$\psi(x_1,x_2)=\psi_a(x_1)\psi_b(x_2)$

这里似乎有几个小问题：

如果这两个态是相同的，也就是$\psi(x_1,x_2)=\psi_a(x_1)\psi_a(x_2)$，那么显然是交换对称的，不可能出现交换反对称的情况——这似乎是泡利不相容原理的反命题。
如果这两个态不相同，那为什么不写成$\psi(x_1,x_2)=\psi_b(x_1)\psi_a(x_2)$？这似乎违背了全同粒子的概念，于是只好写成： $\psi(x_1,x_2)=\frac 1{\sqrt{2}}(\psi_a(x_1)\psi_b(x_2)\pm\psi_b(x_1)\psi_a(x_2))$

交换力

对于以下三种情况，分别计算两个粒子间距离的方差：

$\psi(x_1,x_2)=\psi_a(x_1)\psi_b(x_2)$ $\langle\left(x_1-x_2\right)^2\rangle_d=\langle x^2\rangle_a+\langle x^2\rangle_b-2\langle x\rangle_a\langle x\rangle_b .$
$\psi(x_1,x_2)=\frac 1{\sqrt{2}}(\psi_a(x_1)\psi_b(x_2)\pm\psi_b(x_1)\psi_a(x_2))$ $\langle\left(x_1-x_2\right)^2\rangle_d=\langle x^2\rangle_a+\langle x^2\rangle_b-2\langle x\rangle_a\langle x\rangle_b\mp 2|\langle x\rangle_{ab}|^2 .$

这样看似乎很抽象——为什么两个粒子之间的距离会凭空变化呢？下面做了一些演示，对于给定正态分布的$\psi_a$和$\psi_b$，当交换变量并叠加时，的确会因为交换（反）对称而变得聚集（分散）。

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