双电子自旋

两个电子自旋的状态可以描述为角动量相加$\hat J=\hat j_1+\hat j_2$，简单验证可知其也是角动量：

$[\hat J_x,\hat J_y]=[\hat j_{1x}+\hat j_{2x},\hat j_{1y}+\hat j_{2y}]=i\hbar \hat J_z$

描述角动量之和有两种方式（两种基底）：

$|j_1,j_2,m_1,m_2\rangle=|j_1,m_1\rangle|j_2,m_2\rangle$ 即为非耦合基底；
$|j_1,j_2,J,m\rangle$ 即为耦合基底。

以$s=\frac12$为例：

$|\frac12,\frac12,1,1\rangle=|\frac12,\frac12\rangle|\frac12,\frac12\rangle$ $|\frac12,\frac12,1,-1\rangle=|\frac12,-\frac12\rangle|\frac12,-\frac12\rangle$ $|\frac12,\frac12,1,0\rangle=\frac{1}{\sqrt{2}}|\frac12,\frac12\rangle|\frac12,-\frac12\rangle+\frac{1}{\sqrt{2}}|\frac12,-\frac12\rangle|\frac12,\frac12\rangle$ $|\frac12,\frac12,0,0\rangle=\frac{1}{\sqrt{2}}|\frac12,\frac12\rangle|\frac12,-\frac12\rangle-\frac{1}{\sqrt{2}}|\frac12,-\frac12\rangle|\frac12,\frac12\rangle$

这是符合直觉的，也由此可以注意到两组基底是可以相互转换的，连接中间的系数的桥梁是CG系数。公式如下：

$|j_1,j_2,J,m\rangle=\sum_{m_1+m_2=m}C_{m_1,m_2,m}^{j_1,j_2,J}|j_1,m_1\rangle|j_2,m_2\rangle$ $|j_1,m_1\rangle|j_2,m_2\rangle=\sum_{J}C_{m_1,m_2,m}^{j_1,j_2,J}|j_1,j_2,J,m\rangle$

通过耦合基底，我们发现双电子自旋中有4种态，其中

$|0,0\rangle=\frac{1}{\sqrt{2}}|\frac12,\frac12\rangle|\frac12,-\frac12\rangle-\frac{1}{\sqrt{2}}|\frac12,-\frac12\rangle|\frac12,\frac12\rangle$

是交换反对称的，称为自旋单态；另三种交换对称，称为自旋三重态。

其实通过非耦合基底也可以求出以上结果。$\hat J=\hat j_1+\hat j_2$对应的算符矩阵$\hat J^2$为

$\hat J^2=\hat j_{1x}^2+\hat j_{1y}^2+\hat j_{1z}^2+\hat j_{2x}^2+\hat j_{2y}^2+\hat j_{2z}^2+2(\hat j_{1x}\hat j_{2x}+\hat j_{1y}\hat j_{2y}+\hat j_{1z}\hat j_{2z})$

注意这里是直积，运用 $\sigma_i^2=1$得到：

$\begin{aligned}\hat J^2&=\frac{\hbar^2}{4}(3+3+2\begin{pmatrix}1&0&0&0\\0&-1&2&0\\0&2&-1&0\\0&0&0&1\\\end{pmatrix})\\&=\frac{\hbar^2}{2}\begin{pmatrix}4&0&0&0\\0&2&2&0\\0&2&2&0\\0&0&0&4\\\end{pmatrix}\\&=\begin{pmatrix}2&0&0&0\\0&1&1&0\\0&1&1&0\\0&0&0&2\\\end{pmatrix}\hbar^2\end{aligned}$

通过计算本征值和本征向量，可以得到：

$J^2=\begin{cases}&2&\begin{pmatrix}1\\0\\0\\0\end{pmatrix}&2&\begin{pmatrix}0\\0\\0\\1\end{pmatrix}\\&2&\frac{1}{\sqrt{2}}\begin{pmatrix}0\\1\\1\\0\end{pmatrix}&0&\frac{1}{\sqrt{2}}\begin{pmatrix}0\\1\\-1\\0\end{pmatrix}\\\end{cases}$

显然，由于共用本征态，$J_z$的本征态也是这个。