Dirac符号

虽然在第一节已经用到了狄拉克符号而未作说明，我们在这一节系统地介绍狄拉克符号。左矢$\langle \alpha$可以类比为行向量而右矢$\alpha\rangle$可以类比为列向量，那么：

内积：$\langle \alpha|\beta\rangle$类比一个数
外积：$|\beta\rangle\langle \alpha|$类比一个矩阵
直积：$|\alpha\rangle|\beta\rangle$
矩阵表述
设 $\alpha\rangle=\sum_n a_n |e_n\rangle$ $\beta\rangle=\sum_m b_m |e^\prime_m\rangle$

又因为可以表示为：

$\alpha\rangle=\sum_n |e_n\rangle\langle e_n| \alpha \rangle$

可知系数表示为：

$a_n=\langle e_n| \alpha \rangle$

如果二者能做内积，就要求$n=m$：

$\langle \alpha|\beta\rangle=\sum a_nb_n \langle e_n|e^\prime_n\rangle$

如果有幸两者的基底是一样且归一化的：

$\langle \alpha|\beta\rangle=\sum a_nb_n$

外积则没有这些要求：

$|\alpha\rangle\langle \beta|=\sum_{n,m} a_nb_m |e_n\rangle\langle e^\prime_m|$

这个算符矩阵的第i行第j列的矩阵元就是$\hat{Q}_{ij}=|\alpha_i\rangle\langle \beta_j|=a_ib_j |e_i\rangle\langle e^\prime_j|$

表象变换的矩阵表述

现在一个算符$\hat{Q}$在两种基底（$|e_n\rangle$和$|e_\alpha\rangle$）的矩阵元下分别表示为$\hat{Q}_{mn}$和$\hat{Q}_{\alpha\beta}$，我需要将前者转换为后者。

先考虑基底的变换：$|\psi_m\rangle\rightarrow|\psi_\alpha\rangle$，设$|\psi_\alpha\rangle=\hat{S}|\psi_m\rangle$，那么：

$\begin{aligned}\hat{Q}_{\alpha\beta}&=\langle \psi_\alpha|\hat{Q} |\psi_\beta \rangle\\&=\langle \hat{S}^\dagger\psi_n|\hat{Q} |\hat{S}\psi_n\rangle\\&=\hat{S}^\dagger\hat{Q}_{mn}\hat{S}\end{aligned}$

可观测量

物理量的期望值表示为

$\langle Q\rangle=\langle \psi|\hat{Q}|\psi\rangle$

一个可观测量的算符一定是厄密的，性质为

$\langle \psi|\hat{Q}\psi\rangle=\langle \hat{Q}\psi|\psi\rangle$

可以证明，如果一个算符是厄密的，那么观测值一定是实数。

证明：

$(\langle \psi|\hat{Q}\psi\rangle)^*=\langle \hat{Q}\psi|\psi\rangle=\langle \psi|\hat{Q}\psi\rangle$

也可以证明，如果一个观测量是实数，那么这个算符一定是厄密的。

证明：
设$\psi=\psi_1+c\psi_2$，那么

$c\langle \psi_1|\hat{Q}|\psi_2\rangle+c^*\langle \psi_2|\hat{Q}|\psi_1\rangle=c\langle \hat{Q}\psi_1|\psi_2\rangle+c^*\langle \hat{Q}\psi_2|\psi_1\rangle$

化简得：

$c\langle \psi_1|\hat{Q}|\psi_2\rangle-c\langle \hat{Q}\psi_1|\psi_2\rangle=+c^*\langle \hat{Q}\psi_2|\psi_1\rangle-c^*\langle \psi_2|\hat{Q}|\psi_1\rangle$

这个式子要对任意$c$成立，必然要求：

$\langle \psi_1|\hat{Q}|\psi_2\rangle=\langle \hat{Q}\psi_1|\psi_2\rangle$

这也说明，上述厄密得定义和该定义是一致的，不存在哪个更广泛的问题。

算符的对易

两个算符的作用顺序如果不影响结果，意味着这两个算符作用于不相关的两个态矢量，或者这两个算符对易。对易运算表示为：

$[\hat{A},\hat{B}]=\hat{A}\hat{B}-\hat{B}\hat{A}$

利用算符间的对易关系，可以进行一些巧妙的操作，如推导出谐振子的束缚解波函数。

以下是常用的对易关系：

$[\hat{x},\hat{p_x}]=i\hbar$
$[\hat{x},k(\hat{p_x})]=i\hbar\dfrac{d}{d\hat{p_x}}k(\hat{p_x})$
$[\lambda(\hat{x}),\hat{p_x}]=i\hbar\dfrac{d}{d\hat{x}}\lambda(\hat{x})$

利用这里的导数关系，在角动量一节中证明与角动量有关的对易关系就显得很容易了。

不确定性关系

算符不对易的物理意义在于，不能同时确定这两个物理量的观测值。如三个角动量分量，如果优先确定了$L_z$的值，那么不能确定$L_x$和$L_y$的值（但是可以知道他们的期望值）。对于两个不对易的算符，他们的不确定性关系如下：

$\sigma_A^2\sigma_B^2\geq [\frac{1}{2i}\langle[\hat{A},\hat{B}]\rangle]^2$

不确定性关系的证明：

$\sigma_A^2=\langle \psi|\hat{A}^2\psi\rangle-\langle \psi|\hat{A}\psi\rangle^2$ $\sigma_B^2=\langle \psi|\hat{B}^2\psi\rangle-\langle \psi|\hat{B}\psi\rangle^2$

设$f=[\hat{A}-\langle A\rangle]|\psi\rangle$，$g=[\hat{B}-\langle B\rangle]|\psi\rangle$

$\sigma_A^2\sigma_B^2=\langle f|f\rangle\langle g|g\rangle\geq \langle f|g\rangle ^2=|\langle AB\rangle-\langle A\rangle\langle B\rangle|^2\geq[\frac{1}{2i}\langle[\hat{A},\hat{B}]\rangle]^2$

取等条件为：

第一个等号-柯西不等式条件：波函数$f$和$g$成比例；
第二个等号-虚数条件：波函数$f,g$是虚数。

两个条件合并说明：$f=icg,c\in R$。

另一种证明方法：

以下是一些常见的不确定性关系：

$\Delta x \Delta p\geq \frac{\hbar}{2}$
$\Delta E \Delta t\geq \frac{\hbar}{2}$

第二个不确定性关系似乎难以理解，因为时间不是算符，而是系统的参量。如果该算符不显含时间，运用Ehrenfest定理：
$\frac{d A}{d t}= \frac{\mathrm{i}}{\hbar}[H,A]$
同时不确定性关系给出：
$\sigma_A\sigma_H\geq \frac{1}{2}|\langle[\hat{A},\hat{H}]\rangle|=\frac{\hbar}{2}|\langle\frac{d A}{d t}\rangle|$
时间的方差定义为：
$\sigma_t=\dfrac{\sigma_A}{|\langle\dfrac{d A}{d t}\rangle|}$
该不确定性关系为两种现象提供了解释：

相邻时间测量的能量不确定性；

相应能量展宽对应的本征态持续时间。