算符与对易关系

• Dirac符号
  • 矩阵表述
  • 表象变换的矩阵表述
• 算符
  • 算符的对易
  • 可观测量与厄密算符
  • 不确定性关系
  • 对易力学量完全集（CSCO）

Dirac符号

虽然在第一节已经用到了狄拉克符号而未作说明，我们在这一节系统地介绍狄拉克符号。左矢$\langle \alpha|$可以类比为行向量而右矢$|\alpha\rangle$可以类比为列向量，那么：

1. 内积：$\langle \alpha|\beta\rangle$类比一个数
2. 外积：$|\beta\rangle\langle \alpha|$类比一个矩阵
3. 直积：$|\alpha\rangle|\beta\rangle$

矩阵表述

设

$$|\alpha\rangle=\sum_n a_n |e_n\rangle$$ $$|\beta\rangle=\sum_m b_m |e^\prime_m\rangle$$

又因为可以表示为：

$$|\alpha\rangle=\sum_n |e_n\rangle\langle e_n| \alpha \rangle$$

可知系数表示为：

$$a_n=\langle e_n| \alpha \rangle$$

如果二者能做内积，就要求$n=m$：

$$\langle \alpha|\beta\rangle=\sum a_nb_n \langle e_n|e^\prime_n\rangle$$

如果有幸两者的基底是一样且归一化的：

$$\langle \alpha|\beta\rangle=\sum a_nb_n$$

外积则没有这些要求：

$$|\alpha\rangle\langle \beta|=\sum_{n,m} a_nb_m |e_n\rangle\langle e^\prime_m|$$

这个算符矩阵的第i行第j列的矩阵元就是$\hat{Q}_{ij}=|\alpha_i\rangle\langle \beta_j|=a_ib_j |e_i\rangle\langle e^\prime_j|$

表象变换的矩阵表述

现在一个算符$\hat{Q}$在两种基底（$|e_n\rangle$和$|e_\alpha\rangle$）的矩阵元下分别表示为$\hat{Q}_{mn}$和$\hat{Q}_{\alpha\beta}$，我需要将前者转换为后者。

先考虑基底的变换：$|\psi_m\rangle\rightarrow|\psi_\alpha\rangle$，设$|\psi_\alpha\rangle=\hat{S}|\psi_m\rangle$，那么：

$$\begin{aligned}\hat{Q}_{\alpha\beta}&=\langle \psi_\alpha|\hat{Q} |\psi_\beta \rangle\\&=\langle \hat{S}^\dagger\psi_n|\hat{Q} |\hat{S}\psi_n\rangle\\&=\hat{S}^\dagger\hat{Q}_{mn}\hat{S}\end{aligned}$$

算符

对量子态的作用称为算符。按照上述表述，如果将量子态理解为一个向量，那么算符就是一个矩阵。矩阵构成了一个线性代数，这在 群表示论 谈到过了。简单来说，可以被矩阵描述的算符满足以下性质：

• 线性性：$\hat{Q}(c_1|\psi_1\rangle+c_2|\psi_2\rangle)=c_1\hat{Q}|\psi_1\rangle+c_2\hat{Q}|\psi_2\rangle$
• 可加性：$(\hat{Q}_1+\hat{Q}_2)|\psi\rangle=\hat{Q}_1|\psi\rangle+\hat{Q}_2|\psi\rangle$
• 可积性：$\hat{Q}_1\hat{Q}_2|\psi\rangle=\hat{Q}_1(\hat{Q}_2|\psi\rangle)$
• 一般不可交换性：$\hat{Q}_1\hat{Q}_2|\psi\rangle\neq \hat{Q}_2\hat{Q}_1|\psi\rangle$

并不是所有的算符都是线性算符，如时间反演算符就不是（见 Angular Momentumn and Symmetry ）。

矩阵群非Abel群，自然引出了算符对易的概念。

算符的对易

两个算符的作用顺序如果不影响结果，意味着这两个算符作用于不相关的两个态矢量，或者这两个算符对易。对易运算表示为：

$$[\hat{A},\hat{B}]=\hat{A}\hat{B}-\hat{B}\hat{A}$$

以下是常用的对易关系：

1. $[\hat{x},\hat{p_x}]=i\hbar$
2. $[\hat{x},k(\hat{p_x})]=i\hbar\dfrac{d}{d\hat{p_x}}k(\hat{p_x})$
3. $[\lambda(\hat{x}),\hat{p_x}]=i\hbar\dfrac{d}{d\hat{x}}\lambda(\hat{x})$

1. 证明： $$\begin{aligned}[\hat{x},\hat{p_x}]\psi&=\hat{x}\hat{p_x}\psi-\hat{p_x}\hat{x}\psi\\&=\hat{x}(-i\hbar\dfrac{d}{dx})\psi-(-i\hbar\dfrac{d}{dx})\hat{x}\psi\\&=\hat{x}(-i\hbar\dfrac{d}{dx})\psi-(-i\hbar\dfrac{d}{dx})x\psi\\&=\hat{x}(-i\hbar\dfrac{d}{dx})\psi-\hat{x}(-i\hbar\dfrac{d}{dx})\psi-(-i\hbar)\psi\\&=i\hbar\psi\end{aligned}$$
2. 证明（3同理）： $$\begin{aligned}[\hat{x},k(\hat{p_x})]&=[\hat{x},\sum_n a_n\hat{p_x}^n]\\&=\sum_n a_n[\hat{x},\hat{p_x}^n]\\&=i\hbar \sum_n a_n n\hat{p_x}^{n-1}\\&=i\hbar\dfrac{d}{d\hat{p_x}}k(\hat{p_x})\end{aligned}$$

利用这里的导数关系，在角动量一节中证明与角动量有关的对易关系就显得很容易了。

可观测量与厄密算符

物理量的期望值表示为

$$\langle Q\rangle=\langle \psi|\hat{Q}|\psi\rangle$$

一个可观测量的算符一定是厄密的，性质为

$$\langle \psi|\hat{Q}\psi\rangle=\langle \hat{Q}\psi|\psi\rangle$$

定理：可以证明，如果一个算符是厄密的，那么观测值一定是实数。

证明：

$$(\langle \psi|\hat{Q}\psi\rangle)^*=\langle \hat{Q}\psi|\psi\rangle=\langle \psi|\hat{Q}\psi\rangle$$

逆定理：也可以证明，如果一个观测量是实数，那么这个算符一定是厄密的。

证明：
设$\psi=\psi_1+c\psi_2$，那么

$$c\langle \psi_1|\hat{Q}|\psi_2\rangle+c^*\langle \psi_2|\hat{Q}|\psi_1\rangle=c\langle \hat{Q}\psi_1|\psi_2\rangle+c^*\langle \hat{Q}\psi_2|\psi_1\rangle$$

化简得：

$$c\langle \psi_1|\hat{Q}|\psi_2\rangle-c\langle \hat{Q}\psi_1|\psi_2\rangle=+c^*\langle \hat{Q}\psi_2|\psi_1\rangle-c^*\langle \psi_2|\hat{Q}|\psi_1\rangle$$

这个式子要对任意$c$成立，必然要求：

$$\langle \psi_1|\hat{Q}|\psi_2\rangle=\langle \hat{Q}\psi_1|\psi_2\rangle$$

这也说明，上述厄密得定义和该定义是一致的，不存在哪个更广泛的问题。

实际上，这个定理和“厄密算符的本征值是实数”这个定理是等价的。

充分性：

$$\forall \psi ,\langle \psi|\hat{Q}\psi\rangle=\langle \hat{Q}\psi|\psi\rangle\Rightarrow \langle \psi_n|\hat{Q}\psi_n\rangle=\langle \hat{Q}\psi_n|\psi_n\rangle$$

必要性：

$$\langle \psi_n|\hat{Q}\psi_n\rangle=\langle \hat{Q}\psi_n|\psi_n\rangle$$ $$\begin{aligned}\Rightarrow\forall \psi=\sum_n a_n\psi_n ,\text{Left}&=\langle \psi|\hat{Q}\psi\rangle\\&=\sum_{n,m} a_n^*a_m\langle \psi_n|\hat{Q}\psi_m\rangle\\&=\sum_{n,m} a_n^*a_mq_m\langle \psi_n|\psi_m\rangle\\&=\sum_{n} |a_n|^2q_n\\\text{Right}&=\sum_{n,m} a_n^*a_m\langle \hat{Q}\psi_n|\psi_m\rangle\\&=\sum_{n} |a_n|^2q_n\end{aligned}$$

定理：厄米算符对应不同本征值的本征态是正交的。

证明：

$$q_m\langle \psi_n|\psi_m\rangle=\langle \psi_n|\hat{Q}|\psi_m\rangle=\langle \hat{Q}\psi_n|\psi_m\rangle=q_n^*\langle \psi_n|\psi_m\rangle=q_n\langle \psi_n|\psi_m\rangle$$ $$\Rightarrow (q_m-q_n)\langle \psi_n|\psi_m\rangle=0\Rightarrow \langle \psi_n|\psi_m\rangle=0$$

可以证明，即便是简并的，其简并本征态可以通过线性组合来构造出一组正交基。

既然厄米算符的本征态是正交的，那么他们天然构成一组正交基，不过还存在两个问题：

• 基底的完备性？
• 如果出现简并态，如何选择基底？

这一切得先从不确定性关系讲起。

不确定性关系

算符不对易的物理意义在于，不能同时确定这两个物理量的观测值。如三个角动量分量，如果优先确定了$L_z$的值，那么不能确定$L_x$和$L_y$的值（但是可以知道他们的期望值）。对于两个不对易的算符，他们的不确定性关系如下：

$$\sigma_A^2\sigma_B^2\geq [\frac{1}{2i}\langle[\hat{A},\hat{B}]\rangle]^2$$

不确定性关系的证明：

$$\sigma_A^2=\langle \psi|\hat{A}^2\psi\rangle-\langle \psi|\hat{A}\psi\rangle^2$$ $$\sigma_B^2=\langle \psi|\hat{B}^2\psi\rangle-\langle \psi|\hat{B}\psi\rangle^2$$

设$f=[\hat{A}-\langle A\rangle]|\psi\rangle$，$g=[\hat{B}-\langle B\rangle]|\psi\rangle$

$$\sigma_A^2\sigma_B^2=\langle f|f\rangle\langle g|g\rangle\geq \langle f|g\rangle ^2=|\langle AB\rangle-\langle A\rangle\langle B\rangle|^2\geq[\frac{1}{2i}\langle[\hat{A},\hat{B}]\rangle]^2$$

取等条件为：

1. 第一个等号-柯西不等式条件：波函数$f$和$g$成比例；
2. 第二个等号-虚数条件：波函数$f,g$是虚数。

两个条件合并说明：$f=icg,c\in R$。

另一种证明方法：

以下是一些常见的不确定性关系：

1. $\Delta x \Delta p\geq \frac{\hbar}{2}$
2. $\Delta E \Delta t\geq \frac{\hbar}{2}$

第二个不确定性关系似乎难以理解，因为时间不是算符，而是系统的参量。如果该算符不显含时间，运用Ehrenfest定理：

$$\frac{d A}{d t}= \frac{\mathrm{i}}{\hbar}[H,A]$$

同时不确定性关系给出：

$$\sigma_A\sigma_H\geq \frac{1}{2}|\langle[\hat{A},\hat{H}]\rangle|=\frac{\hbar}{2}|\langle\frac{d A}{d t}\rangle|$$

时间的方差定义为：

$$\sigma_t=\dfrac{\sigma_A}{|\langle\dfrac{d A}{d t}\rangle|}$$

该不确定性关系为两种现象提供了解释：

• 相邻时间测量的能量不确定性；
• 相应能量展宽对应的本征态持续时间。

对易力学量完全集（CSCO）

现在我们知道，只有对易的两个物理量才是可以同时测定的。如果一个物理量还不足以确定一个量子态，那么我们可以寻找更多的对易物理量。所有对易的物理量构成一个完全集（CSCO，Complete Set of Commuting Observables），也称为完备对易力学量。

一个简单的例子是，对于一维自由粒子，显然动量算符可以完全确定一个量子态：

$$\hat{p}|p\rangle=p|p\rangle$$

（这里的记号见 波函数和薛定谔方程 ，即$|p\rangle$就是本征值为$p$的本征态）。如果使用哈密顿算符，则会存在二重简并：

$$\hat{H}|\pm p\rangle=\frac{p^2}{2m}|\pm p\rangle$$

这时候就需要另一个对易的物理量来区分这两个本征态。定义宇称算符：

$$\hat{P}|p\rangle=|-p\rangle$$

利用上述定理，我们可以通过两个态的线性组合来构造出一组正交基：

$$\hat{H}(\dfrac{|p\rangle\pm|-p\rangle}{\sqrt2})=\frac{p^2}{2m}(\dfrac{|p\rangle\pm|-p\rangle}{\sqrt2})$$ $$\hat{P}(\dfrac{|p\rangle\pm|-p\rangle}{\sqrt2})=\frac{1}{\sqrt2}(-|p\rangle\pm|p\rangle)=\pm 1$$

用一组对易的物理量来描述一个量子态，称为完全集（CSCO）。可以证明，在物理关心的范畴内，该集合对应的本征态是完备的。