一维定态问题

为了求解薛定谔方程的通解，第一步是求解给定实数势能项下的波函数空间项，即定态问题。这里以一维定态问题为例，高维情况下可以通过分离变量法将其转化为一维问题。

• 无限深方势阱
• 有限深对称方势阱（束缚解）
• 有限深对称方势垒
• 有限深对称方势阱（散射解）
• 谐振子势阱
  • 代数解法
  • 阶梯法
• δ函数势阱（束缚解）
• δ函数势垒
• δ函数势阱（散射解）
• 双δ函数势阱
• 周期δ函数势阱
• Kronig-Penny模型

无限深方势阱

$$V(x)=\begin{cases}&0&0<x<L\\&\infty&elsewhere\end{cases}$$

1. 波函数形式： $\psi_n(x)=\sqrt{\dfrac{2}{L}}\sin{\dfrac{n\pi x}{L}}$
2. 能量：$E_n=\dfrac{n^2\pi^2 \hbar^2}{2mL^2}$
3. 参数：

• $\langle x\rangle=\dfrac{L}{2}$
• $\langle x^2\rangle=\dfrac{L^2}{3}-\dfrac{L^2}{2n^2\pi^2}$
• $\langle p\rangle=0$
• $\langle p^2\rangle=\dfrac{n^2\pi^2\hbar^2}{L^2}$
• $\sigma_x\sigma_p=\sqrt{\dfrac{n^2\pi^2-6}{12}}\hbar\geq\dfrac{\hbar}{2}$

对于基态波函数，与x轴无交点。对于第$n$激发态波函数，与x轴有$n$个交点。这个定理被称为节点定理/Sturm定理。不仅对于无限深方势阱，对于任意一维束缚解都成立。

有限深对称方势阱（束缚解）

$$V(x)=\begin{cases}&0&0<x<L\\&V&elsewhere\end{cases}$$

偶对称波函数形式：

$$\psi(x)=\begin{cases}&Ae^{k_1x}&x<0\\&B\cos{k_2x}&0<x<L\\&Ae^{-k_1x}&x>L\end{cases}$$

满足

$$k_1^2+k_2^2=\dfrac{2mV}{\hbar^2}$$ $$k_1=k_2\tan{\dfrac{k_2L}{2}}$$

必定有解。

奇对称波函数形式：

$$\psi(x)=\begin{cases}&-Ae^{k_1x}&x<0\\&B\sin{k_2x}&0<x<L\\&Ae^{-k_1x}&x>L\end{cases}$$

满足

$$k_1^2+k_2^2=\dfrac{2mV}{\hbar^2}$$ $$k_1=-k_2\cot{\dfrac{k_2L}{2}}$$

可能有解（和势能的高低有关）。

当$\dfrac{k_2L}{2}=\dfrac{\pi}{2}$时，恰好有解，此时波函数的能量为$E=\dfrac{\pi^2\hbar^2}{2mL^2}$，此时恰好是无限深方势阱的第一个解，这要求势能$V\geq \dfrac{\pi^2\hbar^2}{2mL^2}$。然而这个解在数学上成立，在物理上并不成立（$k_1=0$，导致非束缚解）。

当$V\to -\infty$时，势阱变得无限深，波函数的能量解趋近于无限深方势阱的解。在图像上表示为$\dfrac{k_2L}{2}=\dfrac{n\pi}{2}\to k_2=\dfrac{n\pi}{L}$。

有限深对称方势垒

$$V(x)=\begin{cases}&V_0&0<x<L\\&0&elsewhere\end{cases}$$

$E< V_0$波函数形式：

$$\psi(x)=\begin{cases}&Ae^{ik_1x}+Be^{-ik_1x}&x<0\\&Ce^{k_2x}+De^{-k_2x}&0<x<L\\&Ee^{ik_1x}&x>L\end{cases}$$

可以解得，透射率

$$T=|\dfrac{E}{A}|^2=\dfrac{4k_1^2k_2^2}{(k_1^2+k_2^2)^2\sinh^2{k_2L}+4k_1^2k_2^2}$$

$E> V_0$波函数形式：

$$\psi(x)=\begin{cases}&Ae^{ik_1x}+Be^{-ik_1x}&x<0\\&Ce^{ik_2x}+De^{-ik_2x}&0<x<L\\&Ee^{ik_1x}&x>L\end{cases}$$

可以解得，透射率

$$T=|\dfrac{E}{A}|^2=\dfrac{4k_1^2k_2^2}{(k_1^2-k_2^2)^2\sin^2{k_2L}+4k_1^2k_2^2}$$

$E= V_0$情况：透射率

$$T=|\dfrac{E}{A}|^2=\dfrac{4}{k_1^2L^2+4}$$

引入无量纲量$\beta=\dfrac{k_2}{k_1}$和能量差$\Delta=E-V_0$：

$$T=\begin{cases}\frac{4\beta^2}{\left[1-\beta^2\right]^2\sin^2{k_2L}+4\beta^2},&\Delta>0\\\frac{4}{k_1^2L^2+4},&\Delta=0\\\frac{4\beta^2}{\left[1+\beta^2\right]^2\sinh^2{k_2L}+4\beta^2},&\Delta<0\end{cases}$$

当$E> V_0$，且$E-V_0=\dfrac{n^2\pi^2\hbar^2}{2mL^2}$时（这恰好是无限深方势阱的束缚能量解），出现共振透射的情况，此时透射率为1。这点可以通过相干叠加来理解。

有限深对称方势阱（散射解）

$$V(x)=\begin{cases}&-V_0&0<x<L\\&0&elsewhere\end{cases}$$

此时波函数的能量总是大于势阱的势能，那么透射率同上：

$$T=|\dfrac{E}{A}|^2=\dfrac{4k_1^2k_2^2}{(k_1^2-k_2^2)^2\sin^2{k_2L}+4k_1^2k_2^2}$$

按照经典力学来看，当$\Delta<0$时，粒子不可能穿过势垒，但在量子力学中，粒子仍然有一定的概率穿过势垒，这就是量子隧穿效应。

我们还可以从概率流密度的角度来看待：取入射波$Ae^{ik_1x}$，其概率流密度为$\dfrac{\hbar k}{m}=v$，那么反射波$Be^{-ik_1x}$的概率流密度为$-|B|^2v$，透射波$Ee^{ik_1x}$的概率流密度为$|E|^2v$。因此，透射率和反射率为：

$$T=\dfrac{|E|^2}{|A|^2},\quad R=\dfrac{|B|^2}{|A|^2}$$

谐振子势阱

$$V(x)=\frac12 m\omega^2x^2$$

代数解法

函数形式：$\psi_n(x)=(\dfrac{m\omega}{\pi\hbar})^{\frac14}\dfrac{1}{\sqrt{2^nn!}}H_n(\sqrt{\dfrac{m\omega}{\hbar}}x)e^{-\frac{m\omega}{2\hbar}x^2}$

阶梯法

1. 函数形式：$\psi_n(x)=\frac{1}{\sqrt{n!}}(\hat{a}_+)^n\psi_0(x)$ ，其中$\psi_0(x)=(\dfrac{m\omega}{\pi\hbar})^{\frac14}e^{-\frac{m\omega}{2\hbar}x^2}$
2. 能量：$E_n=(n+\frac12)\hbar\omega$
3. 参数：

• $\langle x\rangle=0$
• $\langle x^2\rangle=\dfrac{2n+1}{4m\omega}\hbar$
• $\langle p\rangle=0$
• $\langle p^2\rangle=\dfrac{2n+1}{4}m\omega\hbar$
• $\sigma_x\sigma_p=(n+\frac12)\hbar$

δ函数势阱（束缚解）

$$V(x)=-\alpha\delta(x)$$

对薛定谔方程在$\pm \epsilon$内积分：

$$\int_{-\epsilon}^{\epsilon} \left( -\frac{\hbar^2}{2m}\frac{d^2\psi}{dx^2}+V(x)\psi \right) dx=E\int_{-\epsilon}^{\epsilon} \psi dx$$

随着$\lim _{\epsilon\to 0}$：

$$-\frac{\hbar^2}{2m}\left[\frac{d\psi}{dx}\bigg|_{-\epsilon}^{\epsilon}\right]-\alpha\psi(0)=0\Rightarrow\frac{d\psi}{dx}\bigg|_{-\epsilon}^{\epsilon}=-\frac{2m\alpha}{\hbar^2}\psi(0)$$

函数形式：$\psi(x)=\dfrac{\sqrt{m\alpha}}{\hbar}e^{-\frac{m\alpha}{\hbar^2}|x|}$

δ函数势垒

$$V(x)=\alpha\delta(x)$$

1. 函数形式：$\psi(x)=\begin{cases}&Ae^{ik_1x}+Be^{-ik_1x}&x<0\\&ce^{ik_1x}&x>0\end{cases}$
2. 透射率：$T=\dfrac{1}{1+\dfrac{m\alpha}{\hbar^2k_1}}$
3. 反射率：$R=\dfrac{1}{1+\dfrac{\hbar^2k_1}{m\alpha}}$

δ函数势阱（散射解）

$$V(x)=-\alpha\delta(x)$$

同势垒，不变。

双δ函数势阱

$$V(x)=-\alpha\delta(x+L)-\alpha\delta(x-L)$$

偶对称函数形式：$\psi(x)=\begin{cases}&Ae^{kx}&x<-L\\ &Be^{kx}+Be^{-kx}&L>x>-L\\ &Ae^{-kx}&x>L\end{cases}$

满足

$$\dfrac{\hbar^2k}{m\alpha}=1+e^{-2kL}$$

一定有解。

奇对称函数形式：$\psi(x)=\begin{cases}&Ae^{kx}&x<-L\\ &-Be^{kx}+Be^{-kx}&L>x>-L\\ &-Ae^{-kx}&x>L\end{cases}$

满足

$$\dfrac{\hbar^2k}{m\alpha}=1-e^{-2kL}$$

只有当$\dfrac{\hbar^2}{m\alpha}>2a$的时候才开始有解。

周期δ函数势阱

$$V(x)=-\alpha\sum_{n=-\infty}^{\infty}\delta(x-nL)$$

根据Bloch定理，$\psi(x+a)=e^{iqL}\psi(x)$，设

$$\psi(x)=Ae^{ikx}+Be^{-ikx}$$

那么

$$\psi(x+L)=Ae^{ikx+iqL}+Be^{-ikx+iqL}$$

经过化简可得：

$$\frac{m\alpha}{\hbar^2k}\sin{kL}+\cos{kL}=\cos{qL}$$

如图，只有在$\pm 1$中的部分可以满足该式，考虑到$q=\frac{2n\pi}{NL}$，$N$是个很大的数，那么近似可以看作$\cos{qL}$可以取遍$\pm 1$中的值，这就是能带的雏形。

Kronig-Penny模型

$$V(x)=\begin{cases}&-V_0&mod(x,a)>a-b\\&0&mod(x,a)<a-b\end{cases}$$ $$\psi(x)=\begin{cases}&Ae^{ik_1x}+Be^{-ik_1x}&-b<x<0\\&Ce^{k_2x}+De^{-k_2x}&0<x<a-b\end{cases}$$ $$\psi(x)=\begin{cases}&Ae^{ik_1x+iqa}+Be^{-ik_1x+iqa}&a-b<x<a\\&Ce^{k_2x+iqa}+De^{-k_2x+iqa}&a<x<2a-b\end{cases}$$

这四个系数对应的四个方程的系数行列式为0时，有解，则：

$$\dfrac{k_2^2-k_1^2}{2k_1k_2}\sinh{k_2 b}\sin{k_1(a-b)}+\cosh{k_2 b}\cos{k_1(a-b)}=\cos{qa}$$

展开波矢，得到：

$$\dfrac{(-V_0-2E)}{2 \sqrt{-E(V_0+E)}}\sinh{\dfrac{2mb\sqrt{-E}}{\hbar} }\sin{\dfrac{2m(a-b)\sqrt{V_0+E}}{\hbar}}+\cosh{\dfrac{2mb\sqrt{-E}}{\hbar}}\cos{\dfrac{2m(a-b)\sqrt{V_0+E}}{\hbar}}=\cos{qa}$$

这里也有能带的结构，更常见的图为：