问题

数值求解一维定态薛定谔方程 $(\hbar=1,m=1)$

$-\frac{\hbar^2}{2m}\frac{d^2\phi(x)}{dx^2}+V(x)\phi(x)=\varepsilon\phi(x),$

取$m=1, V(x)=0.5x2+0.1x^6$, 在$-4<x<4$的范围内，画出基态波函数
和第一激发态波函数随空间的分布，同时求出基态和第一激发态的本征能量。

打靶法

打靶法的思路在于，如果波函数是无穷处收敛的，那么从较远的某端（值为0）开始以随机能量演化，到另一端的值如果也是0，那么认为该能量就是本征能量。

可以看到，基态的能量大概在[0.5,0.6]，第一激发态大概在[1.9,2.0]。考虑到时间和精度的问题，再加上这里局部是单调的，那么采用二分法，计算得到：

$E_0=0.586944672502093\quad E_1=1.950417785129478$

画出波函数如图：

矩阵离散化求特征向量

$\begin{aligned} H=&\frac{1}{\Delta x^2}\begin{bmatrix}-2&1&0&0&\cdots\\1&-2&1&0&\cdots\\0&1&-2&1&\cdots\\\cdots&\cdots&\cdots&\cdots&\cdots\\0&0&0&1&-2\end{bmatrix}+V(x)\\ =&\frac{1}{\Delta x^2} \begin{bmatrix} -2+v_1&1&0&0&\cdots\\ 1&-2+v_2&1&0&\cdots\\ 0&1&-2+v_3&1&\cdots\\ \cdots&\cdots&\cdots&\cdots&\cdots\\ 0&0&0&1&-2+v_{n+1} \end{bmatrix} \end{aligned}$

其中$v=V(\Delta x)^2$。

这里用一阶近似展开了二阶导，所以误差如果要做的小，那么矩阵维度就要很大，计算量指数级上升。有兴趣的同学可以尝试高阶近似展开二阶导。

对上述矩阵提取特征值，可得

$E_0=0.58696\quad E_1=1.9505$