题目

从不同的初值$z_0$出发，牛顿法求解复方程$z^4-1=0$的根，并以一定的分辨率画出指定范围下不同初值的收敛结果:

1.$\operatorname{Re}[z_0]\in (-1,1),\operatorname{Im}[z_0]\in (-1,1)$，分辨率0.01

2.$\operatorname{Re}[z_0]\in (0.4,0.6),\operatorname{Im}[z_0]\in (0.4,0.6)$，分辨率0.001

3.$\operatorname{Re}[z_0]\in (0.49,0.51),\operatorname{Im}[z_0]\in (0.49,0.51)$，分辨率0.0001

4.$\operatorname{Re}[z_0]\in (0.499,0.501),\operatorname{Im}[z_0]\in (0.499,0.501)$，分辨率0.00001

理论分析

方程$z^4=1$有四个解：

牛顿法的迭代方程为：

其中，分别对收敛到$1,-1,1i,-1i$的点染蓝色，红的，黄色和绿色。没有收敛的点为白色。

程序实现

N=201
center=0
lim=1
xx=range(center - lim, center + lim; length = N)
yy = range(center - lim, center + lim; length = N)

X= repeat(xx, 1, length(yy))
Y = repeat(yy, 1, length(xx))'
p=4
Z=X+Y*im
Z_origin=Z

using Plots
cond=[1,-1,1im,-1im]
color=["blue","red","yellow","green"]
for i=1:4
    index=findall(x-> x<0.1,abs.(Z.-cond[i]))
    scatter!(real(Z_origin[index]),imag(Z_origin[index]),legend = false,xlim=(-1, 1), ylim=(-1, 1),color=color[i],ms=1,markerstrokewidth = 0)
end
plot!()
png("100")

image

image

image

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直观上看，可以发现：

  • 四个单位根附近的初始点收敛到该单位根本身，而在直线$y=\pm x$附近的初始点却不一定收敛到最近的单位根。
  • 随着图像的放大，初始点的收敛情况呈现出分形的特征，且并非是一直收敛到同一单位根，颜色貌似和分形的指向有关。
  • 直线$y=\pm x$上的点不收敛
  • 颜色区域由六条曲线分割，分别是$y=\pm x$，$y=\pm(2+\sqrt3) x$，$y=\pm(2-\sqrt3) x$，

image

image

第一点和第三点可以被回答：因为这是一个二维的非线性方程，按理来说可以用作业一的方法去研究：

我们对上述的非线性方程展开：

辐角

令

不难解得辐角不动点：

也就是说，这四条直线上的点的辐角稳定，但是否收敛还要看模的方程：

对其进行讨论（分别取$x=0$,$y=0$,$y=\pm x$），不难发现，坐标轴上的点收敛到附近的单位根，但是直线$y=\pm x$确实永远发散的。