Basic Concept

• 量子力学公设和正则量子化
  • 量子力学的五大公设
  • 正则量子化
• 基本概念
  • 左矢空间和右矢空间
  • 算符
  • 内积
  • 结合公理和完备性表示
  • 基底右矢和线性展开
  • 矩阵表示
  • 测量
  • 相容可测量量和简并
  • 不确定性关系
• 基矢的变换

量子力学公设和正则量子化

量子力学的五大公设

1. 波函数公设：

   • 波函数$\psi(\vec{r})$用于描述量子系统的状态。更数学地讲，希尔伯特空间中的矢量$\left|\psi\right\rangle$可以描述微观系统的状态，那么波函数是态矢量在某一表象下的投影
   • 关于波函数的物理意义，比较公认的是玻恩的统计诠释，即波函数的模方描述在空间中某点发现粒子的概率幅： $$dP(\vec{r})=|\psi(\vec{r})|^2d\vec{r}=\langle \psi|\vec{r}\rangle\langle \vec{r}|\psi\rangle d\vec{r}$$ 结合后面谈到的完备性基底，可以证明概率幅是归一化的： $$\int dP(\vec{r})=\int \langle \psi|\vec{r}\rangle\langle \vec{r}|\psi\rangle d\vec{r}=\langle \psi|\psi\rangle=1$$

   • 态叠加原理：如果$\psi_1$和$\psi_2$是两个可能的态，那么它们的线性组合也是一个可能的态，且系数服从统计诠释（正比于概率）：

     $$\text{discrete } |\psi\rangle=\sum_i\lvert a_i\rangle c_i , c_i=\langle a_i\rvert \psi\rangle ,P=c_i^*c_i$$ $$\text{continuous } |\psi\rangle=\int\lvert a\rangle \psi(a)da , \psi(a)=\langle a\rvert \psi\rangle ,P=\psi(a)^*\psi(a)$$

     态叠加原理意味着量子力学是一个线性的理论，具体而言，如果两个态的叠加是一个态，那么也应该满足薛定谔方程，即哈密顿算符应该是个线性算符。

2. 算符公设：希尔伯特空间中的厄密算符可以描述微观系统的物理量，而物理量的具体数值，取决于算符的本征值。至于为什么必须是厄密算符，是因为实验中的测量都是实数：

   $$\hat A|\psi\rangle = \lambda|\psi\rangle\Rightarrow \langle\psi|\hat A\psi\rangle=\langle\hat A^\dagger\psi|\psi\rangle = \lambda\langle\psi|\psi\rangle\Rightarrow \hat A^\dagger=\hat A$$
3. 测量公设：对物理量进行测量的时候，测量结果一定是本征值之一，且概率遵从态矢量的玻恩统计诠释（即态矢量中包含了“多少”该本征矢量）。测量结束后，态矢量坍缩为相应本征态矢量。测量的行为可以用投影算符描述： $$\hat P_a=|\psi_a\rangle\langle\psi_a|,\hat P_a |\psi\rangle=P_a|\psi_a\rangle$$ 其中$|\psi_a\rangle$是本征态矢量，$\hat P_a$是投影算符。测量后，态矢量变为： $$|\psi\rangle\rightarrow|\psi_a\rangle$$ 可以将厄米算符进行谱分解： $$\hat A=\sum_a a\hat P_a=\sum_a a|\psi_a\rangle\langle\psi_a|$$
4. 演化公设：波函数或态矢量的演化由薛定谔方程决定： $$\mathrm{i}\hbar\frac\partial{\partial t}|\psi(t)\rangle=H|\psi(t)\rangle$$

   定义时间演化算符：

   $$|\psi(t)\rangle=\hat{\Lambda}(t,t_0)|\psi(t_0)\rangle$$

   波函数的归一化要求$\hat{\Lambda}(t,t_0)$是幺正的，即：

   $$\langle\psi(t)|\psi(t)\rangle=1\Rightarrow\hat{\Lambda}(t,t_0)\hat{\Lambda}^\dagger(t,t_0)=1$$

   初值条件同时需要：

   $$\lim_{t\rightarrow 0}\hat{\Lambda}(t,t_0)=1$$

   转写为等价形式：

   $$\hat{\Lambda}(t,t_0)=e^{i\hat{\Omega}(t-t_0)}$$

   对演化后的态矢量求导：

   $$\frac{\partial}{\partial t}|\psi(t)\rangle=i\hat{\Omega}|\psi(t)\rangle$$

   这就有点薛定谔方程的雏形了，令$\hat{H}=-i\hbar\hat{\Omega}$，即可得到

   $$\mathrm{i}\hbar\frac\partial{\partial t}|\psi(t)\rangle=\hat{H}|\psi(t)\rangle$$

   这似乎预示着算符是比方程更根本的东西，我们同样可以定义空间算符，详见 对称性和守恒律 。

1. 全同性原理：全同粒子指的是内禀属性（质量、电荷、自旋等）完全相同的粒子。对于多粒子系统，出于全同粒子的不可分辨性，其概率幅随着粒子的交换而不变，也就是说波函数要么是对称的，要么是反对称的： $$\psi(x_1,x_2,\ldots,x_n)=\pm\psi(x_{\sigma(1)},x_{\sigma(2)},\ldots,x_{\sigma(n)})$$ 满足正号的波函数是玻色子（对称），满足负号的波函数是费米子（反对称）。

正则量子化

有的地方会把量子化条件纳入公设的范围，这里不作评价，仅讨论其中的逻辑。在历史上，狄拉克注意到了算符演化：

$$\frac{d}{dt}\langle \hat{O}\rangle=\frac{1}{i\hbar}\langle[\hat{O},\hat{H}]\rangle+\langle\frac{\partial \hat{O}}{\partial t}\rangle$$

和经典哈密顿力学中的物理量演化：

$$\frac{d}{dt}O=\{O,H\}+\frac{\partial O}{\partial t}$$

的相似关系，并提出通过建立对易子和泊松括号的桥梁——这正是正则量子化的思想。对于经典力学中的正则坐标和正则动量，其泊松括号和对易子分别为：

$$\{P_i,X_j\}=\delta_{ij},[P_i,X_j]=i\hbar\delta_{ij}$$

这中间只相差了一个系数$i\hbar$（事实上对于大部分物理量都是如此，但并非恒成立），这被称为一次量子化。相应地，上述量子化无法处理多粒子体系，因而需要新的量子化。对经典场论的量子化被称为二次量子化：

$$\text{boson } [\hat{a}_i,\hat{a}_j]=0,[\hat{a}_i^\dagger,\hat{a}_j^\dagger]=0, [\hat{a}_i,\hat{a}_j^\dagger]=\delta_{ij}$$ $$\text{fermion } \{\hat{c}_i,\hat{c}_j\}=0,\{\hat{c}_i^\dagger,\hat{c}_j^\dagger\}=0, \{\hat{c}_i,\hat{c}_j^\dagger\}=\delta_{ij}$$

基本概念

左矢空间和右矢空间

在量子力学中，一个物理态用态矢量表示。态矢量（右矢）定义在希尔伯特空间内，记为$|\alpha\rangle$。与之对偶的空间称为左矢空间，对偶的矢量被定义为$(|\alpha\rangle)^*=\langle\alpha|$。

右矢遵循矢量的规则，具有可加性和与常数交换性。不过需要注意的是，态矢量应当是归一化的，换句话说，我们只关心态矢量的方向。

$$\langle\alpha|\alpha\rangle=1$$

当然这要到内积的章节了。

希尔伯特空间是完备的内积空间，内积空间就是定义了内积的线性空间。与经典力学的欧几里得空间（有限维的内积空间）相比：

对比	量子力学	经典力学
空间	希尔伯特空间	欧几里得空间
基底	$\lvert \psi_n\rangle$	$\hat{e_i}$
算符	$\sum_{n,m}\alpha_{nm}\lvert\psi_n\rangle\langle\psi_m\lvert$	$\sum_{i,j}c_{ij}\hat{e_i}\hat{e_j}$

唯一的区别是，量子力学中的$\alpha_{nm}$是复数，而经典力学中的$c_{ij}$是实数。量子力学是无穷维空间，经典力学是有限维空间。

算符

一个物理态经过一定的作用后得到了另一个物理态，即：

$$|\alpha\rangle\Rightarrow|\beta\rangle$$

我们将这种作用记为算符$\hat A$：

$$|\beta\rangle=\hat A|\alpha\rangle$$

算符相当于矩阵，或者说二维的张量，具有相应的一些列性质：可加性，加法交换性，加法结合性。值得注意的是，算符显然不满足乘法交换性，这涉及到了算符的对易。

算符作用在左矢上并非是相应的对偶，在左矢空间的对偶算符记为：

$$(\hat A |\alpha\rangle)^*=\langle\alpha|\hat A^\dagger$$

称之为厄密共轭算符。如果算符满足：

$$\hat A^\dagger=\hat A$$

如果是两个算符相乘：

$$(\hat A\hat B)^\dagger=\hat B^\dagger\hat A^\dagger$$

如果算符表示为外积：

$$\hat A=|\beta\rangle\langle\alpha|\Rightarrow\hat A^\dagger=|\alpha\rangle\langle\beta|$$

内积

希尔伯特空间可以定义内积$\langle\beta|\alpha\rangle$。内积具有以下性质和假定：

• 复共轭：$\langle\beta|\alpha\rangle=\langle\beta|\alpha\rangle^*$
• 长度的实数性：$\langle\alpha|\alpha\rangle\in R$，事实上$\langle\alpha|\alpha\rangle\equiv1$
• 正定度规假设：$\langle\alpha|\alpha\rangle\geq0$
• 柯西不等式推论：$|\langle\beta|\alpha\rangle|\leq\sqrt{\langle\alpha|\alpha\rangle\langle\beta|\beta\rangle}=1$

结合公理和完备性表示

结合公理：算符与矢量的乘法运算是可结合的，例如：

$$(|\beta\rangle\langle\alpha|)|\gamma\rangle=|\beta\rangle(\langle\alpha|\gamma\rangle)=(\langle\alpha|\gamma\rangle)|\beta\rangle$$

这表明既可以视为算符作用在右矢上，也可以视为数点乘在右矢上。

对于一组基底，如果其具有完备性，即：

$$\sum_n|n\rangle\langle n|=I$$

那么可以将其插入表达式的任意部位，这是由结合结合公理决定的。

基底右矢和线性展开

厄米算符具有重要的性质：

• 厄米算符的本征值均为实数；本征值均为实数的算符是厄密算符；
• 厄米算符的不同本征值正交。

那么对于厄米算符，其本征态是天生的正交标准基底（其完备性可以被证明，但是目前需要假定）。我们现在可以把任意一个矢量展开为：

$$|\alpha\rangle=\sum_{a}c_a|a\rangle$$

当然，运用完备性表示：

$$|\alpha\rangle=\sum_{a}|a\rangle\langle a|\alpha\rangle=\sum_{a}\langle a|\alpha\rangle|a\rangle$$

这表明$c_a=\langle a|\alpha\rangle$，其模方表示了该态的概率，这是量子力学的基本公设。同时：

$$\langle\alpha|\alpha\rangle=\langle\alpha|\sum_{a}|a\rangle\langle a|\alpha\rangle=\sum_ac_a^2=1$$

矩阵表示

对于正交标准完备基底，算符表示为：

$$\hat A=\sum_{a_i}\sum_{a_j}|a_i\rangle\langle a_i|\hat A|a_j\rangle\langle a_j|=\sum_{a_i}\sum_{a_j}|a_i\rangle A_{a_ia_j}\langle a_j|$$

厄密性和矩阵的复共轭转置的性质联系了起来。

测量

当我们用算符作用在一个右矢上，其物理意义是测量:

$$|\alpha\rangle=\hat A|a\rangle$$

测量一个右矢，给出了相应算符表象下物理态及其概率。

实际上作用前后的右矢我们仍然观测不了，我们真正感兴趣的是态对于算符的平均值，定义为

$$\langle\hat A\rangle=\langle\alpha|\hat A|\alpha\rangle$$

这和经典的概率诠释相符。用算符的本征基矢展开：

$$\begin{aligned}\langle\alpha|\hat A|\alpha\rangle&=\sum_{a_i}\sum_{a_j}\langle\alpha|a_i\rangle\langle a_i|\hat A|a_j\rangle\langle a_j|\alpha\rangle\\&=\sum_{a_i}\sum_{a_j}c_{a_j}\langle\alpha|a_i\rangle\langle a_i|\hat A|a_j\rangle\\&=\sum_{a_j}c_{a_j}c_{a_j}^*\langle a_j|\hat A|a_j\rangle=\sum_{a_j}c_j^2A_j\end{aligned}$$

相容可测量量和简并

当两个可观测量的算符对易时，称这两个可观测量是相容的。

定理：相容可观测量具有共同本征右矢，记为

$$|a,b\rangle$$

满足

$$\hat A|a,b\rangle=a|a,b\rangle,\hat B|a,b\rangle=b|a,b\rangle$$

不确定性关系

证明1：由内积的正定性：

$$\begin{aligned} ||\psi\rangle|^2&=\langle \psi|\psi\rangle=\langle \phi|(\hat A-i\lambda\hat B)(\hat A+i\lambda\hat B)|\phi\rangle\geq 0\\ &\Rightarrow \langle \phi|\hat A^2|\phi\rangle+\lambda^2\langle \phi|\hat B^2|\phi\rangle+i\lambda\langle \phi|[\hat A,\hat B]|\phi\rangle\geq 0\\ &\Rightarrow \langle \hat B^2\rangle\lambda^2+i\lambda\langle [\hat A,\hat B]\rangle+\langle \hat A^2\rangle\geq 0\\ &\Rightarrow \lambda^2\langle i[\hat A,\hat B]\rangle^2-4\langle \hat A^2\rangle\langle \hat B^2\rangle\leq 0\\ &\Rightarrow \langle \hat A^2\rangle\langle \hat B^2\rangle\geq |\frac{i}{2}\langle [\hat A,\hat B]\rangle|^2 \end{aligned}$$

这个可以约束出更强的式子，取：

$$\hat A'= \hat A-\langle \hat A\rangle, \hat B'= \hat B-\langle \hat B\rangle$$

就可以得到：

$$(\Delta\hat A)^2(\Delta\hat B)^2\geq |\frac{i}{2}\langle [\hat A,\hat B]\rangle|^2$$

证明2：由施瓦茨不等式：

$$\begin{aligned} (\Delta\hat A)^2(\Delta\hat B)^2&=\langle \hat A'\rangle^2\langle \hat B'\rangle^2\\ &\geq |\langle \hat A'\hat B'\rangle|^2\\ &=|\langle \frac{1}{2}[\hat A',\hat B']+\frac{1}{2}\{\hat A',\hat B'\} \rangle|^2\\ &=|\langle \frac{1}{2}[\hat A,\hat B]+\frac{1}{2}\{\hat A',\hat B'\} \rangle|^2\\ &\geq |\frac{1}{2}\langle [\hat A,\hat B]\rangle|^2 \end{aligned}$$

对于不显含时间的算符$\hat f$，其期望值的时间导数为：

$$\frac{d}{dt}\langle \hat f\rangle=\frac{1}{i\hbar}\langle[\hat H,\hat f]\rangle$$

那么：

$$(\Delta\hat H)^2(\Delta\hat f)^2\geq|\frac{1}{2}\langle [\hat H,\hat f]\rangle|^2=|\frac{1}{2}\langle i\hbar \dot{\hat f}\rangle|^2$$

即

$$\Delta E\Delta t\geq\frac{\hbar}{2}$$

基矢的变换

两组正交完备标准基矢$|a\rangle,|b\rangle$可以通过一个幺正算符：

$$\hat U=\sum_{k}|b^k\rangle\langle a^k|$$

进行转换：

$$|b\rangle=\hat U|a\rangle$$

对于原来基矢的右矢，在保持系数不变的情况下，可以通过该矩阵进行转换：

$$\begin{aligned} |\beta\rangle&=\sum_i\langle a^i|\alpha\rangle|b^i\rangle\\ &=\sum_i\sum_j\langle a^i|\alpha\rangle\hat U_{ij}|a^j\rangle\\ &=\hat U |\alpha\rangle\\ \end{aligned}$$

反过来，如果要保持右矢不变，那么右矢在新基矢的系数则为：

$$\langle b^i|\alpha\rangle=\sum_j\langle b^i|a^j\rangle\langle a^j\alpha\rangle=\sum_j\langle a^i|\hat U^\dagger|a^j\rangle\langle a^j\alpha\rangle$$

也就是说把共轭矩阵作用在系数向量。

对于原来基矢的算符，同样类似于上面的变换：

$$\hat X_b=\hat U^\dagger\hat X_a\hat U$$

相似变换不改变矩阵的迹，即迹是不依赖于表象的：

$$\begin{aligned} Tr(\hat X)&=\sum_i \langle a^i|\hat X |a^i\rangle\\ &=\sum_i\sum_j\sum_k \langle a^i|b^j\rangle\langle b^j|\hat X|b^k\rangle\langle b^k| a^i\rangle\\ &=\sum_i\sum_j\sum_k \langle b^k| a^i\rangle\langle a^i|b^j\rangle\langle b^j|\hat X|b^k\rangle\\ &=\sum_i\sum_j\sum_k \langle b^k|b^j\rangle\langle b^j|\hat X|b^k\rangle\\ &=\sum_i\sum_j\sum_k\langle b^j|\hat X|b^k\rangle \langle b^k|b^j\rangle\\ &=\sum_i\sum_j\sum_k\langle b^j|\hat X|b^j\rangle\\ \end{aligned}$$