矢量分析初步

张量的定义

n阶张量被定义为在m维欧式空间内的具有$m^n$个分量的量。

1. 0阶张量：即我们所说的标量$\varphi$
2. 1阶张量：即我们所说的矢量$\vec{A}$
3. 2阶张量

张量的表示

在三维欧式空间中，矢量可以表示为

$$\mathbf{A}=A_x\vec{e_x}+A_y\vec{e_y}+A_z\vec{e_z}$$

根据爱因斯坦求和规则，也可以写为

$$\vec{A}=A_i\vec{e}_i$$

矢量的基本运算

标量和矢量积

$$\varphi\mathbf{A}\equiv \varphi A \vec{e}_A$$

点积（标量积）

$$\mathbf{A}\cdot\mathbf{B}\equiv AB\cos\theta$$

叉积

$$\mathbf{A}\times\mathbf{B}\equiv AB\sin\theta \mathbf{\hat{n}}$$

还有个叫外积的东西

标量三重积

$$\mathbf A\cdot(\mathbf B\times\mathbf C)=\mathbf B\cdot(\mathbf C\times\mathbf A)=\mathbf C\cdot(\mathbf A\times\mathbf B)$$

矢量三重积

$$\mathbf A\times(\mathbf B\times\mathbf C)=\mathbf B(\mathbf A\cdot\mathbf C)-\mathbf C(\mathbf A\cdot\mathbf B)$$

在三维直角坐标系下的表示：

$\mathbf{A}\cdot\mathbf{B}=\delta_{ij}A_iB_j$

$\mathbf{A}\times\mathbf{B}=\epsilon_{ijk}A_iB_i\vec{e_k}\left.=\left|\begin{array}{ccc} {A_{x}} & {A_{y}}&{A_{z}}\\{B_{x}}&{B_{y}}&{B_{z}}\\{e_{x}}&{e_{y}}&{e_{z}}\end{array}\right.\right|$

$\left.\mathbf{A}\cdot(\mathbf{B}\times\mathbf{C})=\left|\begin{array}{ccc}A_x&A_y&A_z\\B_x&B_y&B_z\\C_x&C_y&C_z\end{array}\right.\right|$

矢量分析

如果一个矢量$\vec{A}$或标量$\varphi$是空间位置$\vec{r}$的函数，那么称$\vec{A}(\vec{r})$为矢量场，$\varphi(\vec{r})$为标量场，对场量进行的微分和积分运算就是矢量分析。

微分运算

$$\nabla=\vec{e}_x\frac\partial{\partial x}+\vec{e}_y\frac\partial{\partial y}+\vec{e}_z\frac\partial{\partial z}=\vec{e}_i\frac\partial{\partial x_i}.$$

$\nabla$是个特殊的矢量，是矢量算符。将算符作用在张量上可得：

1. 梯度：$\nabla \varphi=\partial_i \varphi \vec{e_i}$
2. 散度：$\nabla \cdot\vec{A}=\partial_i A_i$
3. 旋度：$\nabla \times\vec{A}=\partial_i A_j \vec{e_k}\epsilon_{ijk}\left.=\left|\begin{array}{ccc}{\partial_{x}}&{\partial_{y}}&{\partial_{z}}\\{A_{x}}&{A_{y}}&{A_{z}}\\{e_{x}}&{e_{y}}&{e_{z}}\end{array}\right.\right|$

混合运算公式

通常会遇到微分算符作用到标积、矢积上的情况：

1. 标量与标量的积的梯度： $$\nabla(fg)=f\nabla g+g\nabla f$$
2. 点积的梯度： $$\nabla(\mathbf{A}\cdot\mathbf{B})=\mathbf{A}\times(\nabla\times\mathbf{B})+\mathbf{B}\times(\nabla\times\mathbf{A})+(\mathbf{A}\cdot\nabla)\mathbf{B}+(\mathbf{B}\cdot\nabla)\mathbf{A}$$
3. 标量和矢量的积的散度： $$\nabla\cdot(f\mathbf{A})=f(\nabla\cdot\mathbf{A})+\mathbf{A}\cdot(\nabla f)$$
4. 叉积的散度： $$\nabla\cdot(\mathbf{A}\times\mathbf{B})=\mathbf{B}\cdot(\nabla\times\mathbf{A})-\mathbf{A}\cdot(\nabla\times\mathbf{B})$$
5. 标量和矢量的积的旋度： $$\nabla\times(f\mathbf{A})=f(\nabla\times\mathbf{A})-\mathbf{A}\times(\nabla f)$$
6. 叉积的旋度： $$\nabla\times(\mathbf{A}\times\mathbf{B})=(\mathbf{B}\cdot\nabla)\mathbf{A}-(\mathbf{A}\cdot\nabla)\mathbf{B}+\mathbf{A}(\nabla\cdot\mathbf{B})-\mathbf{B}(\nabla\cdot\mathbf{A})$$

二重微分

除了对积的微分外，对张量的二阶微分也是麻烦的运算，我们有以下公式：

1. 标量梯度的散度： $$\nabla^2 \varphi\equiv\nabla\cdot(\nabla \varphi)=\partial_i^2 \varphi$$
2. 矢量散度的梯度： $$\nabla^2 \mathbf{A}\equiv\nabla(\nabla \cdot\mathbf{A})=\partial_i^2 A_i \vec{e_i}$$
3. 标量梯度的旋度： $$\nabla\times(\nabla \varphi)=0.$$
4. 矢量旋度的散度： $$\nabla\cdot(\nabla\times\mathbf{A})=0.$$
5. 矢量旋度和旋度： $$\nabla\times(\nabla\times\mathbf{A})=\nabla(\nabla\cdot\mathbf{A})-\nabla^2\mathbf{A} .$$