三维问题
我们刚刚讨论了一维势阱势垒中的束缚和散射解，由于一维问题中只有左右两个方向，有许多真实的问题未被讨论，在这里予以补充。
三维无限深方势阱
三维谐振子
自由电子气
中心对称势场
三维无限深方势阱V(x,y,z)=\begin{cases}0&0
算符与对易关系
Dirac符号
矩阵表述
表象变换的矩阵表述
可观测量
算符的对易
不确定性关系
Dirac符号虽然在第一节已经用到了狄拉克符号而未作说明，我们在这一节系统地介绍狄拉克符号。左矢$\langle \alpha$可以类比为行向量而右矢$\alpha\rangle$可以类比为列向量，那么：
内积：$\langle \alpha|\beta\rangle$类比一个数
外积：$|\beta\rangle\langle \alpha|$类比一个矩阵
直积：$|\alpha\rangle|\beta\rangle$矩阵表述设\alpha\rangle=\sum_n a_n |e_n\rangle\beta\rangle=\sum_m b_m |e^\prime_m\rangle
又因为可以表示为：
\alpha\rangle=\sum_n |e_n\rangle\langle e_n| \alpha \rangle可知系数表示为：
a_n=\langle e_n| \alpha \rangle如果二者能做内积，就要求$n=m$：
\langle \alpha|\beta\rangle ...
一维势阱势垒
常见的（部分）可解析的一维势阱势垒有：无限深方势阱、有限深方势阱（势垒）、$\delta$函数势阱（势垒）、谐振子势阱和部分简单周期势阱。
无限深方势阱
有限深对称方势阱（束缚解）
有限深对称方势垒
有限深对称方势阱（散射解）
$\\delta$函数势阱（束缚解）
$\\delta$函数势垒
$\\delta$函数势阱（散射解）
双$\\delta$函数势阱
谐振子势阱
代数解法
阶梯法
周期$\\delta$函数势阱
Kronig-Penny模型
无限深方势阱V(x)=\begin{cases}&0&0
计算物理5
问题数值求解一维定态薛定谔方程 $(\hbar=1,m=1)$
-\frac{\hbar^2}{2m}\frac{d^2\phi(x)}{dx^2}+V(x)\phi(x)=\varepsilon\phi(x),取$m=1, V(x)=0.5x2+0.1x^6$, 在$-4<x<4$的范围内，画出基态波函数和第一激发态波函数随空间的分布，同时求出基态和第一激发态的本征能量。
打靶法打靶法的思路在于，如果波函数是无穷处收敛的，那么从较远的某端（值为0）开始以随机能量演化，到另一端的值如果也是0，那么认为该能量就是本征能量。
可以看到，基态的能量大概在[0.5,0.6]，第一激发态大概在[1.9,2.0]。考虑到时间和精度的问题，再加上这里局部是单调的，那么采用二分法，计算得到：
E_0=0.586944672502093\quad E_1=1.950417785129478画出波函数如图：
矩阵离散化求特征向量\begin{aligned}
H=&\frac{1}{\Delta x^2}\begin{bmatrix}-2&1&0&0&\cdots\\1&-2&1&0&\cd ...
计算物理4
问题
用四阶龙格库塔方法求解周期驱动单摆方程：
\ddot{\phi}=-(1+a\nu^2\cos\nu t)\sin\phi通过调节方程中的参数，以及初始条件，找到 $\phi=\pi$附近的稳定振动（建议通过相图的方式展示）。
用四阶龙格库塔方法求解一组耦合转的运动方程组：
\dot{\theta}_i=\omega_i+\frac KN\sum_j\sin(\theta_j-\theta_i)其中$N=1000$是转子的个数，$\omega_i\in (-1,1)是均匀分布的转子的初速度$，$K$代表了耦合大小。从$\theta_i(t=0)=0$出发，定义
r(t)=\frac1N\sum_ie^{i\theta(t)}以及从物理上解释为什么会有这种差别分别计算K=0.2 和K=5时，r(t)的模 |r(t)| 随时间的演化，说明这两种情况下有何区别。
问题1周期驱动单摆不同于普通单摆，可以稳定于 $\phi=\pi$，也可能出现在两个稳定点的跳跃，那么对稳定情况的约束需要考虑长时间稳定行为。定义步长$h=\frac{1}{10v}$，稳定条件为$|\mod{(\p ...
计算物理3
开心消消乐在一个$L\times L$的网格 (即每行每列均有$L$个格子)上定义如下的消消乐游戏：
在最开始，格子上没有任何的方块。
每次挑选任意一个格子，放上去一个方块。每放上去一个方块，系统开始演化一个时间步。一个时间步内的演化规则见后面一条。
如果一个格子上的方块数目大于等于4，则消去4个方块，并记录下这一次消去，这四个方块会移动累加到上下左右的4个格点(它们各自方块数+1),如果有一个方块的两个邻居同时消去并给到它，则它的方块数量+2,也就是说影响是叠加的；考虑开放边界条件，即如果一个格子在边界发生消去，则有一个或者两个方块移动出去了。每次同时消去所有当前高度大于等于4的格子，并记录下总的消去数。直到场上没有任何格子的方块数$\geq4$,这一个时间步结束。
每一步的得分记为这一步的总消去次数。
题目
选取网格大小$L=32$,演化足够多的时间步，并记录网格平均方块数量($n=\frac{N}{L^2}$,$N$是场上的方块总数)随着演化时间$t$的关系。你发现了什么？
选取并固定一个合适的系统尺寸$L$,统计长时间演化时，每步得分的频率分布。你发现了什么规律？
...
计算物理2
题目
从不同的初值$z_0$出发，牛顿法求解复方程$z^4-1=0$的根，并以一定的分辨率画出指定范围下不同初值的收敛结果:
1.$\operatorname{Re}[z_0]\in (-1,1),\operatorname{Im}[z_0]\in (-1,1)$，分辨率0.01
2.$\operatorname{Re}[z_0]\in (0.4,0.6),\operatorname{Im}[z_0]\in (0.4,0.6)$，分辨率0.001
3.$\operatorname{Re}[z_0]\in (0.49,0.51),\operatorname{Im}[z_0]\in (0.49,0.51)$，分辨率0.0001
4.$\operatorname{Re}[z_0]\in (0.499,0.501),\operatorname{Im}[z_0]\in (0.499,0.501)$，分辨率0.00001
理论分析方程$z^4=1$有四个解：
z_1=1,z_2=-1,z_3=1i,z_4=-1i牛顿法的迭代方程为：
z=z-\frac{z^4-1}{4z^3}=\frac 34 ...
计算物理1
题目
1.对于迭代方程$x_{n+1}=1-\mu x_n^2$，分析不同$\mu\in (0,2)$下$x_n$的长时间行为，及其与初值$x_0\in(-1,1)$的关系。
2.对于迭代方程$f(x)=\left\{\begin{aligned}x_{n+1}=1-\mu x_n & x>0\\x_{n+1}=1+\mu x_n & x<0\end{aligned}\right.$，分析不同$\mu\in (0,2)$下$x_n$的长时间行为，及其与初值$x_0\in(-1,1)$的关系。
3.对于迭代方程$x_{n+1}=1-\mu x_n$，分析不同$\mu\in (0,2)$下$x_n$的长时间行为，及其与初值$x_0\in(-1,1)$的关系。
4.比较上述两种情况，你发现了什么。
如果你有幸在物理实验课上进行了混沌相关的实验，你会发现这就是实验课所讲的虫口模型：虫子在繁殖增加和竞争减小的双重作用下，数量产生了周期性或非周期性的波动。研究其中的行为特征，可以对混沌理论和行为略窥一二。
这里仅针对第一种情况进行以下方面的讨论。
初步理论分析良好的理 ...
前言
本学期的计算物理质量之高令人惊叹，只可惜含金量全都集中在助教和作业上了，建议同学们都去问助教问题。
本专栏记录了计算物理的作业及个人解答，供同学们参考用。值得注意的是，希望在参考处标注出处（尤其是上计算物理这门课的同学们）。尽管如此，我依然推荐大家去自己搜索该课程需要用到的文献，这对于锻炼你的搜索能力有着极大的帮助。
计算物理课程作业不定期修改，所以注意作业的数值变动，以及更常见的整道题都不同的情况。
作者做作业是参考了该学长（知乎-计算物理专栏）的某些思路，并进行了一定程度的创新。致谢每一位具有传承精神的同学。
波函数和薛定谔方程
本学期的学习中并不看重公理化体系的引入，不过这里还是简单的介绍一下，学完量子力学不免有的疑问在这里可以稍作解答。不同的作者对基本原理有着不同的归纳，这里结合喀兴林和Haku的归纳方法。
量子力学公设
波函数和态矢量
归一化
表象变换
薛定谔方程
如何导出薛定谔方程
定态和概率流
线性组合
简并度
Ehrenfest定理
量子力学公设
波函数公设：波函数$\psi(\vec{r})$用于描述量子系统的状态。更数学地讲，希尔伯特空间中的矢量$\left|\psi\right\rangle $可以描述微观系统的状态，那么波函数是态矢量在某一表象下的投影；
算符和测量公设：希尔伯特空间中的厄密算符可以描述围观系统的物理量，而物理量的具体数值，取决于算符的本征值。算符可能有多个本征值，那么讲态矢量按照归一化本征矢量展开得到的系数的复平方，即是取到该值的概率。如果用数学公式表达，就是：
算符公设：$A|a_i\rangle=a_i|a_i\rangle$ 其中 $\langle a_i|a_j\rangle=\delta_{ij}$
测量公设（统计诠释）：$|\psi\rangl ...
