小径

将非相对论性量子力学（NRQM）推广到相对论情形的尝试注定会是失败的，因为量子力学要求的概率守恒在相对论中不再成立，能量会产生新的粒子，因此量子场论（QFT）才是正确的框架。不过，当粒子的能量较小的时候，我们可以认为没有新粒子的产生，进而构建相对论性量子力学（RQM），Klein-Gordon方程和Dirac方程就是那时沿此思路所得的两个产物。 Klein-Gordon方程具有一些神奇的困难，不过Dirac方程却是一个很好的过渡，其以很自然的方式： 导出电子的朗德因子 导出了氢原子光谱精细结构 预言了带正电荷的反粒子——正电子的存在 Dirac方程仍然存在负能解的问题，这就是狄拉克之海的由来。 在此之前，我们先介绍有用的单位制。 自然单位制\hbar=c=1 $c=1$意味着时间和空间的单位是一样的。同时，质能方程$E=mc^2$变为$E=m$，意味着质量和能量的单位也是一样的。 $\hbar=1$意味着长度的量纲是动量的倒数，同时也是能量单位的倒数。 克莱因-戈登方程相对论中，粒子的能量为： E=\frac{p^2}{2m}\Rightarrow E=\sqrt{p^2+m^2 ...

Classic Scattering Theory Differential Cross Section Rigid Sphere Scattering Rutherford Scattering Quamtum Scattering Theory Scattering Amplitude Green Function Method Operator Form Optical Theorem Example: Square Well Example: Yukawa Potential Classic Scattering TheoryDifferential Cross Section 微分散射截面定义为： D(\theta)=\frac{d\sigma}{d\Omega}其中$d\sigma$是单位立体角$d\Omega$内的散射截面。显然，微分散射截面是一个碰撞参数$b$或角度$\theta$的函数。其中： d\sigma =4\pi bdb,d\Omega=4\pi \sin\theta d\theta所以： D(\theta)=\frac{d\sigma}{d\Om ...

量子力学2主要参考课程讲义以及Sarkari的《现代量子力学》。 Content: Basic Concept Density-Matrix Quantum Dynamics & Quantum Geometry Angular Momentumn and Symmetry Approximation Method Time-Dependent-Perturbation Scattering-Theory Relativistic-QM EPR佯谬

相空间和刘维尔定理 系综理论 微正则系综 等概率原理 微正则系综的热力学公式 单原子经典理想气体 爱因斯坦的固体热容理论 正则系综 正则系综的热力学公式 正则系综的便利性 正则系综和微正则系综的联系 实际气体 德拜的固体热容理论 巨正则系综 吸附现象 点吸附（0维吸附） 面吸附（2维吸附） 表格 相空间和刘维尔定理最概然分布的方法处理近独立的粒子，但是不能处理有强相互作用的粒子，这时候就要请出平衡态统计物理的普遍理论——系综理论。 在经典力学中，N个全同粒子（每个粒子的自由度为r）的总自由度为$f=Nr$。那么可以通过广义坐标$q_i,i=1,\cdots,f$和广义动量$p_i,i=1,\cdots,f$构成2f维度的相空间。系统的运动状态由哈密顿正砸方程决定，即 \frac{dq_i}{dt}=\frac{\partial H}{\partial p_i},\frac{dp_i}{dt}=-\frac{\partial H}{\partial q_i}对于保守系统，哈密顿量就是系统的能量，即 H(q_1,\cdots,q_f,p_1,\cdots,p_f)=E这 ...

热力学统计量表达式 弱简并理想玻色气体和费米气体 玻色-爱因斯坦凝聚(BEC) 热辐射和光子气体 瑞利-金斯公式 维恩公式 普朗克公式 金属中的自由电子气体 满足定域或非简并条件的粒子系统可以采用玻尔兹曼统计，而不满足非简并条件的系统，需要用玻色-爱因斯坦统计或费米-狄拉克统计处理。 不满足非简并条件的气体叫做简并气体。不同于理想气体，简并气体不满足定域条件。尽管气体之间的距离更大，但是气体粒子本身的波包尺度也更大。同样的道理，固体虽然原子之间间距小，但是波包更小，是定域系统。 粒子的简并情况也有所区别，具体可根据逸度$z=e^{-\alpha}$进行分类： 理想气体（非简并） 理想玻色/费米气体（弱简并） 玻色-爱因斯坦凝聚 光子气体 自由电子气（强简并） $e^{-\alpha}\ll1$ $e^{-\alpha}\ll1$但不可忽略 $e^{-\alpha}\to 1^{-}$ $e^{-\alpha}= 1$ $e^{-\alpha}\gg 1$ 其中，理想气体因为忽略相互作用，所以化学势$\mu$接近0，但我们在下面会讨论如果不忽略其影响会 ...

热力学量的统计表达 配分函数 热力学宏观量 粒子数 内能 广义作用力 热量和熵 自由能 能均分定理 对理想气体的应用与讨论 理想气体的热力学量 理想气体物态方程 理想气体的内能 理想气体的熵 理想气体的化学势 麦克斯韦速度分布 压强公式 双原子气体的内能和热容 平动能 振动能 转动能 经典和量子对比 固体热容的爱因斯坦理论 顺磁性固体 对于量子系统，满足定域条件（可分辨）或经典极限条件（$e^{\alpha}\gg1,\frac{a_l}{\omega_l}\ll 1$）时，可以用玻尔兹曼统计处理。 热力学量的统计表达配分函数对于一个系统，其单原子配分函数定义为（这里的下标1表示单原子）： Z_1=\sum_{l}\omega_le^{-\beta \epsilon_l}我们将在 系综理论 中看到，单原子配分函数其实和正则系综的系统配分函数有着密切的联系，正是因为三大统计分布研究的是几乎无相互作用的体系，我们才能从单原子配分函数开始研究。 热力学宏观量粒子数粒子数的统计表达为： N=\sum_{l}a_l=\sum_{l}\omega_l e^{-\alpha- ...

统计力学简史 系统微观运动状态的描述 自由粒子的态密度 系统统计状态的描述 分布和微观状态 玻尔兹曼系统 玻色系统 费米系统 非简并条件 三大统计分布 玻尔兹曼分布 玻色-爱因斯坦分布 费米-狄拉克分布 统计力学简史从这一节开始，我们使用统计的方法看待物理问题。一开始的时候，物理学家倾向于从微观世界导出宏观统计量（比如克劳修斯导出压强公式$P=\frac13 nm \bar{v^2}$，当然，在麦克斯韦公式修正之前，克劳修斯用的是平均速率的平方），这是基于纯力学的原理。接着，麦克斯韦从概率的角度推导出了气体分子速率公式。至此为止，所有的初级统计理论被称为气体分子运动学，以区分后面的统计热力学。 玻尔兹曼在麦克斯韦公式的基础上，进行了推广，得到了麦克斯韦-玻尔兹曼分布（这也是我们即将讨论的内容）。可惜的是，这一分布只适用于近独立子系（该节标题的来源）。吉布斯突破了这一限制，其系综理论后续启发了玻色研究理想光子气体，并得到了爱因斯坦的赞赏（他后续预言了玻色-爱因斯坦凝聚，这或许是玻色-爱因斯坦分布的来源）。泡利提出不相容原理后，费米和狄拉克提出了费米-狄拉克分布。 所以我们 ...

Time-independet Perturbation Non-degenerate Perturbation First Order Theory Second Order Theory Degenerate Perturbation Two-fold Degenerate Example Stark Effect Quadratic Stark Effect Linear Stark Effect Fine Structure Relative Movement Correction Spin-Orbit Coupling Zeeman Effect Normal Zeeman Effect Weak-Field Zeeman Effect Strong-Field Zeeman Effect Quadradic Zeeman Effect Van der Waals Interaction Time-dependet Perturbation Interaction Picture Example: Nuclear Magnetic Resonan ...

多元系的热力学函数和热力学方程 多元复相系的热力学函数和热力学方程 多元系的复相平衡条件 单相化学平衡条件 混合理想气体的性质 理想气体的化学平衡 均匀配比的平衡常量 电离度 热力学第三定律 多元复相系指的是拥有多种组元且至少有一个组元存在多种相的系统。在这样一个系统里面，组元之间会发生化学反应，不同相间会存在复相平衡。我们要研究的就是多元系中的复相平衡和化学平衡。 多元系的热力学函数和热力学方程广延量是一些广延量的一次齐函数，而强度量则是广延量的另次齐函数。选取多元系的$T,p,n_1,\cdots,n_k$为状态参量我们可以写出： \begin{cases}V&=V(T,p,n_1,\cdots,n_k)\\U&=U(T,p,n_1,\cdots,n_k)\\S&=S(T,p,n_1,\cdots,n_k)\\\end{cases}由欧拉定理可知： \begin{cases}V=\sum_i{n_i(\frac{\partial V}{\partial n_i})_{T,p,n_i}}=\sum_i{n_iv_i}\\U=\sum_i{n_i(\frac{\partial ...

在经典力学中，我们通过类比动量，我们可以推广得到角动量。然而，更深层次的理解需要结合群论和对称性规律来阐释，这也是为什么起这个标题的原因。 转动和角动量对易 有限转动和无穷小转动 量子力学的无穷小转动 群论和李代数 群的基本概念 二维群 O(2) Group SO(2) Group U(1) Group 三维群 SO(3) Group U(2) Group SU(2) Group 自旋1/2系统与有限转动 基本作用力和对称性 基本作用力 对称性 对称性和简并度 对称性和守恒律 氢原子的四维旋转对称 宇称对称性 宇称算符的本征态 自发对称性破缺 宇称选择定则 时间反演对称性 经典力学的时间反演 量子力学的时间反演 时间反演算符 时间反演算符的性质 内积 算符 波函数 有自旋波函数 转动和角动量对易有限转动和无穷小转动我们在之前的学习就知道有限转动是不对易的，这意味着先进行哪个操作影响最后的结果。 我们可以写出有限转动的转动矩阵： R_x(\phi)=\begin{pmatrix} 1&0&0\\ 0&\cos{\phi}&-\sin{\phi}\\ ...