小振动
理论框架矩阵方程我们接下来讨论保守力学系统在稳定平衡位形附近作小振动的情况。解析写出拉格朗日量：
L=T-V=\sum_{i,j=1}^n \frac{m_{ij}}{2} \dot{x}_i\dot{x}_j- V(x_1, x_2, \cdots, x_n)在平衡位置附近，势能可以用泰勒公式展开：
\begin{aligned}
V(x_1, x_2, \cdots, x_n) &= V(x_{10}, x_{20}, \cdots, x_{n0}) \\&+ \sum_{i=1}^n \left( \frac{\partial V}{\partial x_i} \right)_0(x_i - x_{i0}) \\
&+ \frac{1}{2} \sum_{i,j=1}^n \left( \frac{\partial^2 V}{\partial x_i \partial x_j} \right)_0 (x_i - x_{i0})(x_j - x_{j0})\\
&+ \cdots
\end{aligned}平衡位置处$\left( \dfrac{\partial V}{\parti ...
有心力和散射问题
有心力质点所受力的作用线如果始终通过一个定点，那么称这种力为有心力。这个定点称为力心。显然，如果该力是一个保守力，则对应的势场是各向同性的。
两体问题的简化对于两个质点通过相互作用力约束在一起的问题，通过柯尼希定理，可知：
T=T_{c}+T_{r}其中 $T_{c}$ 是质点的质心动能，$T_{r}$ 是质点相对于质心的动能。
通过质点系动能定理，可知$T_c$是一个常数。展开$T_r$，有：
\begin{aligned}
T_{r} &= \frac{1}{2} m_{1} v_1^2 + \frac{1}{2} m_{2} v_2^2 \\
&= \frac{1}{2} m_{1} \left(\frac{m_2}{m_1+m_2}v\right)^2 + \frac{1}{2} m_{2}\left(\frac{m_1}{m_1+m_2}v\right)^2 \\
&=\frac12 \frac{m_1m_2}{m_1+m_2}v^2\\
&=\frac{1}{2} \mu v^2
\end{aligned}其中，$v$ 是相对速度，$\mu$ 是约化质量。这样，我们就把两体 ...
激光原理
激光(Laser)的全名是受激光辐射放大(Light Amplification by Stimulated Emission of Radiation)，是通过受激辐射过程产生的相干光源。激光具有高度的单色性、方向性和相干性。
跃迁理论光的发射和吸收是光场与物质作用的结果。光场与物质作用使得组成物质的原子 （或分子）从一个本征态 （能级） 跃迁到另一个本征态，与此伴随着光场某一波型内增加或减少一个光子，这就是单光子的发射和吸收行为，这种行为包括三种基本过程，即自发辐射、受激辐射和受激吸收。
自发辐射原子中处于高能级$E_2$的电子自发地向低能级$E_1$跃迁，并发射出一个能量为$h\nu=E_2-E_1$的光子的现象，叫自发辐射。
自发辐射的速度可以用以下公式描述：
\frac{dN_2}{dt}|_{sp}=-A_{21}N_2对于没有外界扰动的情况下，可以描述为：
N_2(t)=N_2(0)e^{-A_{21}t}平均寿命为：
\tau_{21}=\frac{1}{A_{21}}常见的自发辐射的例子包括荧光和磷光。前者的寿命大概在纳秒级别，而后者的寿命由于存在自旋禁阻，大概在秒量 ...
Bloch电子动力学
Bloch电子动力学
Bloch电子的速度
半经典模型
恒定电场磁场中Bloch电子的运动
恒定电场
恒定磁场
霍尔效应
单能带模型
双能带模型
在能带论的基础上，我们不再满足经典的Drude模型和Sommerfeld模型，而是希望基于能带论建立半经典模型。
Bloch电子动力学Bloch电子的速度我们此前已经证明，周期性势场中的单电子薛定谔方程的本征函数可以写成Bloch波形式：
\psi_k^n(\vec{r})=e^{i\vec{k}\cdot\vec{r}}u_k^n(\vec{r})其中，$u_k^n(\vec{r})$是一个周期函数，满足$u_k^n(\vec{r}+\vec{R})=u_k^n(\vec{r})$，$\vec{R}$为晶格矢量。总的来说，Bloch波是由$u_k^n(\vec{r})$调幅的平面波。
将Bloch波代入薛定谔方程，得到：
\begin{aligned}
&\left[-\frac{\hbar^2}{2m}\nabla^2+V(\vec{r})\right]e^{i\vec{k}\cdot\vec{r}}u_k^n(\vec{ ...
电磁波的辐射
势和场
推迟势
李纳-维谢尔势
电偶极子的辐射
拉莫尔公式
势和场\begin{align}
\nabla\cdot\vec{E}&=\dfrac{\rho}{\varepsilon_0}\\
\nabla\cdot\vec{B}&=0\\
\nabla\times\vec{E}&=-\dfrac{\partial \vec{B}}{\partial t}\\
\nabla\times\vec{B}&=\mu_0 \vec{J}+\mu_0\varepsilon_0\dfrac{\partial \vec{E}}{\partial t}
\end{align}引入矢势$\vec{A}$和标势$V$：
E=-\nabla V-\dfrac{\partial \vec{A}}{\partial t},\quad B=\nabla\times\vec{A}这两个定义自动满足式(2)和(3)。他们需要满足的条件可以从式(1)和(4)中得到：
\begin{align}
\nabla^2V+\frac{\partial}{\partial t}\left(\nabla\cdot\vec{A} ...
电磁波
从麦克斯韦方程组到波动方程\begin{align}
\nabla\cdot\vec{E}&=\dfrac{\rho}{\varepsilon_0}\\
\nabla\cdot\vec{B}&=0\\
\nabla\times\vec{E}&=-\dfrac{\partial \vec{B}}{\partial t}\\
\nabla\times\vec{B}&=\mu_0 \vec{J}+\mu_0\varepsilon_0\dfrac{\partial \vec{E}}{\partial t}
\end{align}对式(3)取旋度：
\begin{aligned}
\text{Left}&=\nabla\times(\nabla\times\vec{E})\\
&=\nabla(\nabla\cdot\vec{E})-\nabla^2\vec{E}\\
&=-\nabla^2\vec{E}\\
\text{Right}&=\nabla\times\left(-\dfrac{\partial \vec{B}}{\partial t}\right)\\
&=-\dfrac{\part ...
麦克斯韦方程组
麦克斯韦方程组在静电学、静磁学和电磁感应的电磁学基础上，我们总结出了麦克斯韦方程组：
\begin{align}
\nabla\cdot\vec{E}&=\dfrac{\rho}{\varepsilon_0}\\
\nabla\cdot\vec{B}&=0\\
\nabla\times\vec{E}&=-\dfrac{\partial \vec{B}}{\partial t}\\
\nabla\times\vec{B}&=\mu_0 \vec{J}+\mu_0\varepsilon_0\dfrac{\partial \vec{E}}{\partial t}
\end{align}有介质存在时，改为：
\begin{align}
\nabla\cdot\vec{D}&=\rho_f\\
\nabla\cdot\vec{B}&=0\\
\nabla\times\vec{E}&=-\dfrac{\partial \vec{B}}{\partial t}\\
\nabla\times\vec{H}&=\vec{J}_f+\dfrac{\partial \vec{D}}{\partial t}
...
电磁感应
电磁感应磁场的变化产生电场磁通量的改变会产生电动势，分为：
感生电动势：由于磁场的变化而产生的电动势。
动生电动势：由于闭合回路磁场中运动（面积改变）而产生的电动势。
法拉第电磁感应定律指出了感应电动势的大小，而楞次定律指出了感应电动势的方向：
\mathcal{E}=-\dfrac{d\Phi_B}{dt}其中，$\Phi_B$为磁通量。楞次定律指出感应电动势的方向总是与磁通量的变化方向相反。
将其写为积分的形式：
\oint \vec{E}\cdot d\vec{l}=-\dfrac{d}{dt}\int_S \vec{B}\cdot d\vec{S}即：
\nabla\times \vec{E}=-\dfrac{\partial \vec{B}}{\partial t}电感和磁场的能量根据法拉第电磁感应定律，如果往一个线圈中通电，其产生的磁场会在另一个线圈中产生磁通量：
\Phi_2=M_{21}I_1其中，$M_{21}$为两个线圈之间的互感系数，描述两个线圈的磁场耦合程度。可以计算出：
M_{21}=\frac{\mu_0}{4\pi}\oint\oint \frac{d ...
静磁学
静磁学恒定电流定义电流为：
I=\lim_{\Delta t\to 0}\dfrac{\Delta Q}{\Delta t}=\lim_{\Delta t\to 0}\dfrac{ne\Delta V}{\Delta t}=\lim_{\Delta t\to 0}\dfrac{nevS\Delta t}{\Delta t}=nevS定义电流密度为：
J=\frac{dI}{dS_{\perp}}欧姆定律指出：
I=U/R=El S/\rho l=ES/\rho其中，电阻$R=\rho l/S$，$\rho$为电阻率。相应地，电流密度为：
\vec{J}=\sigma \vec{E}其中，$\sigma=1/\rho$为电导率。
电流满足连续性方程：
\nabla\cdot \vec{J}=-\dfrac{\partial \rho}{\partial t}若电流是恒定的，即$\rho$不随时间变化，则有：
\nabla\cdot \vec{J}=0静磁学的核心是恒定电流，尽管电流是非静止的，但是由其产生的磁场是静止的。由于没有磁荷磁场是无源的，电流是静磁学中磁场唯一的旋度贡献。注意，恒 ...
